今天看了《機械姬》，探討人工智慧話題的電影，豆瓣評分7.5，還是蠻不錯的一部電影。影片1:09:29處出現了一段python程式碼，細看了一下，發現是篩法求質數的python程式碼，寫得非常簡練的。先貼個電影的截圖：
影片裡的程式碼略微有點模糊，我重新打一遍，是下面這個樣子的
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#coding:utf8 import sys def sieve(n): #compute primes using sieve eratosthenes x = [1] * n x[1] = 0 for i in range(2,n/2): j = 2 * i while j < n: x[j] = 0 j = j + i return x def prime(n,x): #Find nth prime i = 1 j = 1 while j <= n: if x[i] == 1: j = j + 1 i = i + 1 return i-1 x = sieve(10000) code = [1206,301,384,5] key = [1,1,2,2] sys.stdout.write("".join(chr(i) for i in [73,83,66,78,32,61,22])) for i in range(0,4): sys.stdout.write(str(prime(code[i],x)-key[i])) |
程式碼的最後列印出來下面這個很奇怪的東西，目測是一本書的ISBN，上豆瓣查了一下，是Embodiment and the Inner Life，是關於思維、意識的內容的，和本片的主題息息相關。
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ISBN =9780199226559[Finished in 0.1s] |
重點還是前面的兩個函式實現的篩法求質數。首先介紹一下什麼是篩法，篩法相傳是古希臘的埃拉託斯特尼發明的一種檢測素數的演算法。篩法的思路非常簡單，可以用下面的動圖來描述。給定一個範圍，首先用2去篩，把所有2的倍數都篩掉，然後再用3篩，用5篩，不斷重複下去……
再來看程式碼
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def sieve(n): //對n以內的數進行篩選，返回一個長度為n的布林陣列 #compute primes using sieve eratosthenes x = [1] * n //定義長度為n的布林陣列（實際上電影裡用1和0來表示true和false了） x[1] = 0 //1既不是素數也不是合數，設為0 for i in range(2,n/2)://i從2開始一直到n/2 j = 2 * i //j從2倍i開始 while j < n: x[j] = 0 //把所有i的倍數篩除 j = j + i //下一個i的倍數 return x //返回陣列 def prime(n,x): //求第n個素數，只需要在篩選好的布林陣列中找第n個標記為1的數就可以了 #Find nth prime i = 1 //初始化為1 j = 1 while j <= n: //在布林陣列中尋找第n個標記為1的數 if x[i] == 1: j = j + 1 i = i + 1 return i-1 //前面迴圈中i多加了一次，返回時需要減1 |
可以看到，使用篩法求第n個質數的時間複雜度為O(nlog(n))，缺點在需要提前求得篩選的結果，增加了空間複雜度，篩選結果可以用位元位來表示以節省空間。
此外還有一個問題，在求第n個質數的時候，如何要確定第n個質數的大致範圍，以確定篩選結果的布林陣列長度。根據素數定理，可以用來估算某個範圍內的素數個數，可以用公式x/ln(x)來描述，ln表示自然對數，假設要估計10000以內有多少質數，代入公式10000/ln(10000)得到的結果為1085.73,使用上面的篩法得到的10000以為的質數個數為1229，可以看到估計值比實際值略小一點，估計的範圍越大，估計值與實際值的誤差越小。實際使用中可以通過公式計算估計值，然後按一定百分比擴大範圍即可。