記一個有趣的數學題

IMO 2011 P2 設 S 是平面上包含至少兩個點的一個有限點集，其中沒有三點在同一條直線上。所謂一個“風車”是指這樣一個過程：從經過 S 中單獨一點 P 的一條直線 l 開始，以 P 為旋轉中心順時針旋轉，直至首次遇到 S 中的另一點，記為點 Q 。接著這條直線以 Q 為新的旋轉中心順時針旋轉，直到再次遇到 S 中的某一點，這樣的過程無限持續下去。 證明：可以適當選取 S 中的一點 P ，以及過 P 的一條直線 l ，使得由此產生的“風車”將 S 中的每一點都無限多次用作旋轉中心。

參考3blue1brown的視訊講解

1.邊讀題邊畫畫圖

2.想象一下直線l的運動過程（有動畫會好理解許多）

3.規律（不完全歸納）： 當直線從點集邊緣開始時只能以邊緣的點為軸，無法掃到內部的點 當直線位於“中間”時，可以掃到所有的點

4.嘗試用數學語言解釋“中間”： 平分點集，即直線l兩側的點的數量相等

5.梳理思路

當奇數個點時，從一條平分點集的直線l開始，掃描到某一個點A時，軸點O與點A共線，繼續旋轉，點A成為新的軸點，而原軸點O則頂替了點A原來的位置，從而使得直線l兩側的點數仍相等。當直線l與初始位置平行時，共旋轉了180°，由兩側點數相等易證直線l回到了初始軸點，以為不存在三點共線，易證此時掃過了所有的點。

偶數個點時，將軸點視作某一側的點，360°一週期