向量分析
梯度和方向倒數
- 標量場 \(\varphi\) 的梯度為
\[grad\varphi=\nabla \varphi=\vec{e_x}\frac{\partial \varphi}{\partial x}+\vec{e_y}\frac{\partial \varphi}{\partial y}+\vec{e_z}\frac{\partial \varphi}{\partial z}
\]
- 標量場在 \(\vec{l}\) 方向上（單位向量為 \(\vec{l^\circ}\)）的方向導數為
\[\frac{\partial \varphi}{\partial l}=\nabla \varphi \cdot \vec{l^\circ}
\]
散度
\[div\vec{A}=\nabla \cdot \vec{A}
\]
- 散度定理
\[\int_V\nabla\cdot\vec{A}~dV=\oint_S\vec{A}\cdot d\vec{S}
\]
旋度
\[rot\vec{A}=\nabla\times\vec{A}
\]
- 斯托克斯定理
\[\int_S(\nabla\times\vec{A})\cdot d\vec{S}=\oint_l\vec{A}\cdot d\vec{l}
\]
哈密爾頓微分算符
- 直角座標系
\[\nabla=\vec{e_x}\frac{\partial}{\partial x}+\vec{e_y}\frac{\partial}{\partial y}+\vec{e_z}\frac{\partial}{\partial z}
\]
- 圓柱座標系
\[\nabla=\vec{e_r}\frac{\partial}{\partial r}+\vec{e_\phi}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \phi}+\vec{e_z}\frac{\partial}{\partial z}
\]
- 球面座標系
\[\nabla=\vec{e_r}\frac{\partial}{\partial r}+\vec{e_\theta}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}+\vec{e_\phi}\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \phi}
\]
拉普拉斯微分運算元
- 直角座標系
\[\nabla^2\varphi=\frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\varphi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2\varphi}{\partial z^2}
\]
- 圓柱座標系
\[\nabla^2\varphi=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r\frac{\partial\varphi}{\partial r})+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2\varphi}{\partial \varphi^2}+\frac{\partial^2\varphi}{\partial z^2}
\]
- 球面座標系
\[\nabla^2\varphi=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2\frac{\partial\varphi}{\partial r})+\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}(\sin\theta\frac{\partial\varphi}{\partial \theta})+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2\varphi}{\partial \phi^2}
\]
靜電場
庫侖定律
點電荷 \(q'\) 位於 \(\vec{r'}\)；點電荷 \(q\) 位於 \(\vec{r}\)；點電荷 \(q'\) 到點電荷 \(q\) 為 \(\vec{R}=\vec{r}-\vec{r'}\)。\(q'\) 對 \(q\) 的庫侖力為
\[\vec{F}=\frac{q'q}{4\pi \varepsilon_0}\frac{\vec{R}}{R^3}
\]
電場強度
位於 \(\vec{r'}\) 的點電荷 \(q'\) 在 \(\vec{r}\) 處產生的電場強度為
\[\vec{E}=\frac{q'}{4\pi \varepsilon_0}\frac{\vec{R}}{R^3}
\]
高斯定理
- 閉合曲面 \(S\) 包含的總電荷為 \(Q\)，則該閉合曲面的通量為
\[\oint_S\vec{E} \cdot d\vec{S}=\frac{Q}{\varepsilon_0}
\]
- 微分形式（電場強度的散度）
\[\begin{split}
\nabla \cdot \vec{E}&=\frac{\rho}{\varepsilon_0} \\
\oint_S\vec{E}\cdot d\vec{S}&=\frac{q}{\varepsilon_0}
\end{split}
\]
- 電場強度的旋度
\[\begin{split}
\nabla\times\vec{E}&=\vec{0} \\
\oint_l\vec{E}\cdot d\vec{l}&=0
\end{split}
\]
靜電場的電位
- 電場強度與電位的關係
\[\vec{E}=-\nabla\varphi
\]
- 位於 \(\vec{r'}\) 的點電荷 \(q'\) 在 \(\vec{r}\) 處的電位為
\[\varphi(\vec{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q'}{|\vec{r}-\vec{r'}|}
\]
- 靜電場中兩點間的電位差為
\[\varphi(P)-\varphi(P_0)=\int_P^{P_0}\vec{E}\cdot d\vec{l}
\]
- 泊松方程
\[\nabla^2\varphi=-\frac{\rho}{\varepsilon_0}
\]
電偶極子
- 兩個等量異種電荷 \(-q\) 和 \(q\)，負電荷到正電荷的有向距離為 \(\vec{l}\)，則電偶極矩為
\[\vec{p}=q\vec{l}
\]
- 取電偶極矩的中心在座標原點，
\[\varphi=\frac{\vec{p}\cdot\vec{r}}{4\pi\varepsilon_0r^3}
\]
\[\vec{E}=\frac{p}{4\pi\varepsilon_0r^3}(\vec{e_r}2\cos\theta+\vec{e_\theta}\sin\theta)
\]
電介質（絕緣體）的極化強度
- 體積 \(\Delta V\) 裡電偶極矩之和為 \(\sum{\vec{p}}\)，則極化強度為
\[\vec{P}=\lim_{\Delta V \to 0}\frac{\sum{p}}{\Delta V}
\]
- 極化介質產生的極化電荷可以看作等效體電荷和等效面電荷，分別為
\[\rho_p(\vec{r})=-\nabla\cdot\vec{P(\vec{r})}
\]
\[\rho_{sp}=\vec{P}(\vec{r})\cdot\vec{n}
\]
電位移向量
在電介質中，電場由自由電荷 \(\rho\) 和極化電荷（束縛電荷） \(\rho_p\) 共同產生。
- 極化介質中的電場強度為 \(\vec{E}\)，極化強度為 \(\vec{P}\)，則電位移向量為
\[\vec{D}=\varepsilon_0\vec{E}+\vec{P}
\]
- 電介質中的場方程
\[\begin{split}
\nabla\cdot\vec{D}&=\rho \\
\oint_S\vec{D}\cdot d\vec{S}&=q \\
\nabla\times\vec{E}&=\vec{0}
\end{split}
\]
電介質的電位
對於均勻介質（\(\varepsilon\) 為常數），
\[\nabla^2\varphi=-\frac{\rho}{\varepsilon}
\]
介電常數
若介質是線性各向同性（均勻介質），介質的相對介電常數為 \(\varepsilon_r\)，介質的介電常數為 \(\varepsilon\)，極化率為 \(\chi_e\)。
- 極化強度為
\[\vec{P}=\varepsilon_0\chi_e\vec{E}
\]
- 電位移向量為
\[\begin{split}
\vec{D}=
&=\varepsilon_0(1+\chi_e)\vec{E} \\
&=\varepsilon_0\varepsilon_r\vec{E} \\
&=\varepsilon\vec{E}
\end{split}
\]
靜電場的邊界條件
- 分介面兩側的介電常數分別為 \(\varepsilon_1\) 和 \(\varepsilon_2\)，分介面的法向量為 \(\vec{n}\)，分介面上的自由電荷密度為 \(\rho_s\)，則邊界條件為
\[\begin{split}
\vec{n}\cdot(\vec{D}_2-\vec{D}_1)=\rho_s~~~&or~~~D_{2n}-D_{1n}=\rho_s\\
\vec{n}\times(\vec{E}_2-\vec{E}_1)=\vec{0}~~~&or~~~E_{2t}=E_{1t}
\end{split}
\]
- 電介質邊界的電位
\[\begin{split}
&\varphi_1=\varphi_2\\
&\rho_s=-\varepsilon_2\frac{\partial\varphi_2}{\partial n}+\varepsilon_1\frac{\partial\varphi_1}{\partial n}
\end{split}
\]
- 介質 \(\varepsilon_1\) 和介質 \(\varepsilon_2\) 中電力線與法線的夾角分別為 \(\theta_1\) 和 \(\theta_2\)，關係為
\[\frac{\tan\theta_1}{\tan\theta_2}=\frac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2}
\]
- 對於導體，內部電荷為零，僅考慮外部場 \(\vec{E}\) 和 \(\vec{D}\)，外法線 \(\vec{n}\)，邊界條件為
\[\begin{split}
D_n&=\rho_s \\
E_t&=0
\end{split}
\]
靜電場的能量密度和電場能量
- 能量密度
\[\omega_e=\frac{1}{2}\vec{E}\cdot\vec{D}
\]
- 電場能量
\[W_e=\frac{1}{2}\int_V\vec{E}\cdot\vec{D}~dV
\]
恆定電流的電場和磁場
電流密度
正電荷運動的方向為 \(\vec{n}\)，取與 \(\vec{n}\) 垂直的面積元 \(\Delta S\)，透過面積元的電流為 \(\Delta I\)，則電流密度為
\[\vec{J}=\lim_{\Delta S \to 0}\frac{\Delta I}{\Delta S}\vec{n}
\]
- 透過任意麵積 \(S\) 的電流強度為
\[I=\int_S\vec{J}\cdot d\vec{S}
\]
歐姆定律的微分形式（傳導電流）
線性各向同性的導體的電導率為 \(\sigma\)，則電流密度為
\[\vec{J}=\sigma\vec{E}
\]
焦耳定律的微分形式（傳導電流）
導體內的熱功率密度為
\[p=\vec{J}\cdot\vec{E}
\]
恆定電流場的基本方程
\[\begin{split}
\nabla\cdot\vec{J}&=0\\
\oint_S\vec{J}\cdot d\vec{S}&=0\\
\nabla\times\vec{E}&=\vec{0}\\
\oint_l\vec{E}\cdot d\vec{l}&=0
\end{split}
\]
- 均勻導體（電導率為常數）內部電荷動態為零，則
\[\begin{split}
\nabla\cdot\vec{E}&=0\\
\nabla^2\varphi&=0
\end{split}
\]
恆定電流場的邊界條件
- 分介面兩側的電導率分別為 \(\sigma_1\) 和 \(\sigma_2\)，分介面的法向量為 \(\vec{n}\)，分介面上的自由電荷密度為 \(\rho_s\)，則邊界條件為
\[\begin{split}
\vec{n}\cdot(\vec{J}_2-\vec{J}_1)&=0~~~or~~~ J_{1n}=J_{2n}\\
\vec{n}\times(\vec{E}_2-\vec{E}_1)&=\vec{0}~~~or~~~E_{1t}=E_{2t}\\
\end{split}
\]
- 導體邊界的電位
\[\begin{split}
\varphi_1&=\varphi_2\\
\sigma_1\frac{\partial\varphi_1}{\partial n}&=\sigma_2\frac{\partial\varphi_2}{\partial n}
\end{split}
\]
- 介質 \(\sigma_1\) 和介質 \(\sigma_2\) 中電流線與法線的夾角分別為 \(\theta_1\) 和 \(\theta_2\)，關係為
\[\frac{\tan\theta_1}{\tan\theta_2}=\frac{\sigma_1}{\sigma_2}
\]
- 導體內部的電荷為零，電荷只能分佈在表面上（\(J_{1n}=J_{2n}=J_n\)）：
\[\rho_s=D_{2n}-D_{1n}=\frac{\varepsilon_2}{\sigma_2}J_{2n}-\frac{\varepsilon_1}{\sigma_1}J_{1n}=J_n(\frac{\varepsilon_2}{\sigma_2}-\frac{\varepsilon_1}{\sigma_1})
\]
磁感應強度
\[\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\oint_C\frac{Id\vec{l}\times\vec{R}}{R^3}
\]
- 磁感應強度與向量磁位的關係
\[\vec{B}=\nabla\times\vec{A}
\]
恆定磁場的基本方程
\[\begin{cases}
\nabla\cdot\vec{B}=0 \\
\oint_S\vec{B}\cdot d\vec{S}=0
\end{cases}
\]
\[\begin{cases}
\nabla\times\vec{B}=\mu_0\vec{J} \\
\oint_C\vec{B}\cdot d\vec{l}=\mu_0I
\end{cases}
\]
磁偶極子
一個載流回路的面積為 \(\vec{S}\)，電流為 \(I\)，則磁偶極矩為
\[\vec{m}=I\vec{S}
\]
- 向量磁位為
\[\vec{A}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{\vec{m}\times\vec{r}}{r^3}
\]
- 球面座標系下的磁感應強度
\[\vec{B}=\frac{\mu_0m}{4\pi r^3}(\vec{e}_r2\cos\theta+\vec{e}_\theta\sin\theta)
\]
磁介質的磁化強度
- 體積為 \(\Delta V\) 的磁介質中，總的磁偶極矩為 \(\sum\vec{m}\)，則磁化強度為
\[\vec{M}=\lim_{\Delta V \to 0}\frac{\sum\vec{m}}{\Delta V}
\]
- 介質磁化產生的磁化電流由體電流和面電流組成，為
\[\begin{split}
&\vec{J}_m=\nabla\times\vec{M} \\
&\vec{J}_{mS}=\vec{M}\cdot\vec{n}
\end{split}
\]
磁場強度
\[\vec{H}=\frac{\vec{B}}{\mu_0}-\vec{M}
\]
磁導率
若介質是線性各向同性（均勻介質），介質的相對磁導率為 \(\mu_r\)，介質的磁導率為 \(\mu\)，極化率為 \(\chi_m\)。
- 磁化強度為
\[\vec{M}=\chi_m\vec{H}
\]
- 磁感應強度為
\[\begin{split}
\vec{B}&=\mu_0(\vec{H}+\vec{M})\\
&=\mu_0(1+\chi_m)\vec{H}\\
&=\mu_0\mu_r\vec{H}\\
&=\mu\vec{H}
\end{split}
\]
磁介質中恆定磁場的基本方程
\[\begin{cases}
\nabla\cdot\vec{B}=0\\
\oint_S\vec{B}\cdot d\vec{S}=0
\end{cases}
\]
\[\begin{cases}
\nabla\times\vec{H}=\vec{J}\\
\oint_C\vec{H}\cdot d\vec{l}=\int_S\vec{J}\cdot d\vec{S}
\end{cases}
\]
恆定磁場的邊界條件
- 分介面兩側的磁導率分別為 \(\mu_1\) 和 \(\mu_2\)，分介面的法向量為 \(\vec{n}\)，分介面上的電流密度為 \(\vec{J}_S\)，則邊界條件為
\[\begin{split}
\vec{n}\cdot(\vec{B}_2-\vec{B}_1)=0~~~&or~~~B_{2n}=B_{1n}\\
\vec{n}\times(\vec{H}_2-\vec{H}_1)=\vec{J}_S~~~&or~~~H_{2t}-H_{1t}=J_S
\end{split}
\]
- 介質 \(\mu_1\) 和介質 \(\mu_2\) 中磁力線與法線的夾角分別為 \(\theta_1\) 和 \(\theta_2\)，關係為
\[\frac{\tan\theta_1}{\tan\theta_2}=\frac{\mu_1}{\mu_2}
\]
磁場能量密度和磁場能量
- 磁場能量密度
\[\omega_m=\frac{1}{2}\vec{B}\cdot\vec{H}
\]
- 磁場能量
\[W_m=\frac{1}{2}\int_V\vec{B}\cdot\vec{H} dV
\]
時變電磁場
麥克斯韋方程組
- 全電流定律
\[\nabla\times\vec{H}=\vec{J}+\frac{\partial\vec{D}}{\partial t}
\]
- 法拉第電磁感應定律
\[\nabla\times\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}
\]
- 磁通連續性原理
\[\nabla\cdot\vec{B}=0
\]
- 高斯定理
\[\nabla\cdot\vec{D}=\rho
\]
- 電流連續性方程
\[\nabla\cdot\vec{J}=-\frac{\partial\rho}{\partial t}
\]
時變電磁場的邊界條件
一般情況，
- 電位移向量
\[\vec{n}\cdot(\vec{D}_2-\vec{D}_1)=\rho_S~~~or~~~D_{2n}-D_{1n}=\rho_S
\]
若分介面沒有自由面電荷，則分介面兩側的電位移向量的法向分量連續，電場強度的法向分量不連續。
\[\begin{split}
D_{1n}&=D_{2n} \\
\varepsilon_1E_{1n}&=\varepsilon_2E_{2n}
\end{split}
\]
- 磁感應強度
\[\vec{n}\cdot(\vec{B}_2-\vec{B}_1)=0~~~or~~~B_{1n}=B_{2n}
\]
分介面兩側的磁感應強度的法向分量連續，磁場強度的法向分量不連續。
\[\mu_1H_{1n}=\mu_2H_{2n}
\]
- 磁場強度
\[\vec{n}\times(\vec{H}_2-\vec{H}_1)=\vec{J_S}~~~or~~~H_{2t}-H_{1t}=J_S
\]
若分介面沒有自由面電流，則分介面兩側的磁場強度的切向分量連續，磁感應強度的切向分量不連續。
\[\begin{split}
H_{1t}&=H_{2t}\\
\frac{B_{1t}}{\mu_1}&=\frac{B_{2t}}{\mu_2}
\end{split}
\]
- 電場強度
\[\vec{n}\times(\vec{E}_2-\vec{E}_1)=\vec{0}~~~or~~~E_{1t}=E_{2t}
\]
分介面兩側的電場強度的切向分量連續，電位移向量的切向分量不連續。
\[\frac{D_{1t}}{\varepsilon_1}=\frac{D_{2t}}{\varepsilon_2}
\]
- 自由面電流密度和自由面電荷密度：
\[\nabla_t\cdot\vec{J}_S+(J_{1n}-J_{2n})=-\frac{\partial\rho_S}{\partial t}
\]
\(\nabla_t\) 表示對與分介面平行的座標量求微分（存疑）
理想介質（\(\sigma=0\)）
在兩種理想介質的分介面上，沒有自由面電流和自由面電荷，即 \(\vec{J}=\vec{0}\)，\(\rho_S=0\)。邊界條件為：
\[\begin{split}
\vec{n}\times(\vec{H}_2-\vec{H}_1)&=\vec{0}\\
\vec{n}\times(\vec{E}_2-\vec{E}_1)&=\vec{0}\\
\vec{n}\cdot(\vec{B}_2-\vec{B}_1)&=0\\
\vec{n}\cdot(\vec{D}_2-\vec{D}_1)&=0
\end{split}
\]
理想導體（\(\sigma=\infty\)）
理想導體內部不存在電場和磁場。電力線垂直於理想導體表面，磁力線平行於理想導體表面。邊界條件為：
\[\begin{split}
\vec{n}\times\vec{H}&=\vec{J}_S\\
\vec{n}\times\vec{E}&=\vec{0}\\
\vec{n}\cdot\vec{B}&=0\\
\vec{n}\cdot\vec{D}&=\rho_S
\end{split}
\]
坡印廷定理
- 坡印廷向量
\[\vec{S}=\vec{E}\times\vec{H}
\]
- 坡印廷定理
\[-\oint_S\vec{S}\cdot d\vec{S}=\frac{\partial}{\partial t}\int_V(\omega_e+\omega_m)dV+\int_V\vec{J}\cdot\vec{E}~dV
\]
右式第一項表示體積 \(V\) 中電磁能量隨時間的增加率，第二項表示體積 \(V\) 中熱損耗功率。
正弦電磁場
- 復振幅（僅是空間座標的函式，與時間無關）
\[\dot{E}_{xm}=E_{xm}e^{j\phi_x}
\]
- 復振幅向量（僅是空間座標的函式，與時間無關）
\[\vec{\dot{E}}=\vec{e}_x\dot{E}_{xm}+\vec{e}_y\dot{E}_{ym}+\vec{e}_z\dot{E}_{zm}
\]
- \(\leftrightarrow\)： 瞬時值與復振幅向量的對應關係。復振幅向量乘以 \(e^{j\omega t}\)，並取實部，得到瞬時值。
\[\begin{split}
E_x(x,y,z,t) &\leftrightarrow \dot{E}_{xm}(x,y,z) \\
\frac{\partial E_x(x,y,z,t)}{\partial t} &\leftrightarrow j\omega \dot{E}_{xm}(x,y,z) \\
\vec{E}(x,y,z,t) \leftrightarrow \vec{\dot{E}}(x,y,z)&=\vec{e}_x\dot{E}_{xm}+\vec{e}_y\dot{E}_{ym}+\vec{e}_z\dot{E}_{zm}
\end{split}
\]
麥克斯韋方程組的複數形式
- 全電流定律
\[\nabla\times\vec{\dot{H}}=\vec{\dot{J}}+j\omega \vec{\dot{D}}
\]
- 法拉第電磁感應定律
\[\nabla\times\vec{\dot{E}}=-j\omega \vec{\dot{B}}
\]
- 磁通連續性原理
\[\nabla\cdot\vec{\dot{B}}=0
\]
- 高斯定理
\[\nabla\cdot\vec{\dot{D}}=\dot{\rho}
\]
- 電流連續性方程
\[\nabla\cdot\vec{\dot{J}}=-j\omega \dot{\rho}
\]
約定：剩餘表示復量的 \(\cdot\)
復坡印廷向量
復坡印廷向量與時間無關，所以取實部不需要乘 \(e^{j\omega t}\)。
- 瞬時值
\[\vec{S}=\vec{E}\times\vec{H}
\]
- 平均值
\[\vec{S}_{av}=\text{Re}[\frac{1}{2}\vec{E}\times\vec{H}^*]
\]
注：電場能量密度、磁場能量密度和導電損耗功率。
復介電常數和復磁導率
\[\varepsilon_c=\varepsilon'(\omega)-j\varepsilon''(\omega)~~~~\mu_c=\mu'(\omega)-j\mu''(\omega)
\]
- 損耗角正切
\[\tan\delta_\varepsilon=\frac{\varepsilon''}{\varepsilon'}~~~~\tan\delta_\mu=\frac{\mu''}{\mu'}
\]