慢慢寫 十二重計數法

\(n\) 球 \(m\)​ 盒。

誰家數學答題卡。

\(\text{I}\)：球之間互不相同，盒子之間互不相同。

每個球 \(m\) 种放法，\(n ^ m\)。

\(\text{II}\)：球之間互不相同，盒子之間互不相同，每個盒子至多裝一個球。

\(n > m\) 則 \(0\)。

\[\binom {m}{n} n! = \frac{m!}{n!(m - n!)}n!=\frac{m!}{(m - n)!} \]

\(\text{III}\)​​​：球之間互不相同，盒子之間互不相同，每個盒子至少裝一個球。

\(n < m\) 則 \(0\)。

設第 \(i\) 個盒子裝的球數是 \(cnt_i\)。

然後對於每種方案，向每個盒子裡挑選球。就是

\[n! \times [x^n] \left(x + \frac {x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!}\right) ^ m \]

多項式快速冪應該問題不大。兩秒應該能接受。

\(\text{IV}\)：球之間互不相同，盒子全部相同。

不好考慮，那嘗試 dp？

設 \(f_{i,j}\) 表示前 \(i\) 個數分成 \(j\) 組的方案數。

每個點可以選擇加入前面的一個組，也可以選擇自己新開一個組。

也就是 \(f_{i, j} = f_{i - 1, j - 1} + j f_{i - 1, j}\)。

嘗試將這玩意用多項式最佳化。

\(\text{V}\)：球之間互不相同，盒子全部相同，每個盒子至多裝一個球。

\(\text{VI}\)​​​：球之間互不相同，盒子全部相同，每個盒子至少裝一個球。

\(\text{VII}\)：球全部相同，盒子之間互不相同。

設每個盒子裡球的數量是 \(cnt_i\)。

用多項式表達出來。

\[[x^n] \left(1 + x + x^2 + x^3 + \cdots + x^n\right) ^ m \]

\(\text{VIII}\)：球全部相同，盒子之間互不相同，每個盒子至多裝一個球。

\[[x^n] \left(1 + x\right) ^ m \]

也就是

\[\binom{m}{n} \]

\(\text{IX}\)​​​：球全部相同，盒子之間互不相同，每個盒子至少裝一個球。

\[[x^n] \left(x + x^2 + x^3 + \cdots + x^n\right) ^ m \]

\(\text{X}\)：球全部相同，盒子全部相同。

\(\text{XI}\)：球全部相同，盒子全部相同，每個盒子至多裝一個球。

\(\text{XII}\)​​：球全部相同，盒子全部相同，每個盒子至少裝一個球。