掌握高斯公式，會利用高斯公式對第二型曲面積分和三重積分進行相互轉化。掌握右手法則和斯托克斯公式，會利用斯托克斯公式對第二型曲面積分和第二型曲線積分進行相互轉化。掌握空間第二型曲線積分與路徑無關性的等價條件。
重點習題：例1-例3
卡爾·弗里德里希·高斯
高斯（Johann Carl Friedrich Gauss）（1777年4月30日－1855年2月23日），生於不倫瑞克，卒於哥廷根，德國著名數學家、物理學家、天文學家、大地測量學家。高斯被認為是最重要的數學家，並擁有“數學王子”的美譽。
1792年，15歲的高斯進入布倫瑞克（Braunschweig）學院。在那裡，高斯開始對高等數學作研究。獨立發現了二項式定理的一般形式、數論上的“二次互反律”（Law of Quadratic Reciprocity)、質數分佈定理（prime number theorem)及算術幾何平均(arithmetic-geometric mean)。
1795年高斯進入哥廷根大學。1796年，19歲的高斯得到了一個數學史上非常重要的結果，就是《正十七邊形尺規作圖之理論與方法》。
1855年2月23日清晨，高斯於睡夢中去世。
高斯是一對普通夫婦的兒子。他的母親是一個貧窮石匠的女兒，雖然十分聰明，但卻沒有接受過教育，近似於文盲。在她成為高斯父親的第二個妻子之前，她從事女傭工作。他的父親曾做過園丁，工頭，商人的助手和一個小保險公司的評估師。當高斯三歲時便能夠糾正他父親的借債賬目的事情，已經成為一個軼事流傳至今。他曾說，他在麥仙翁堆上學會計算。能夠在頭腦中進行復雜的計算，是上帝賜予他一生的天賦。
高斯用很短的時間計算出了小學老師佈置的任務：對自然數從1到100的求和。他所使用的方法是：對50對構造成和101的數列求和（1+100，2+99，3+98……），同時得到結果：5050。這一年，高斯9歲。父親格爾恰爾德·迪德里赫對高斯要求極為嚴厲，甚至有些過份，常常喜歡憑自己的經驗為年幼的高斯規劃人生。高斯尊重他的父親，並且秉承了其父誠實、謹慎的性格。
在成長過程中，幼年的高斯主要得力於母親和舅舅：高斯的母親羅捷雅、舅舅弗利德里希（Friederich）。弗利德里希富有智慧，為人熱情而又聰明能幹投身於紡織貿易頗有成就。他發現姐姐的兒子聰明伶利，因此他就把一部分精力花在這位小天才身上，用生動活潑的方式開發高斯的智力。若干年後，已成年併成就顯赫的高斯回想起舅舅為他所做的一切，深感對他成才之重要，他想到舅舅多產的思想，不無傷感地說，舅舅去世使"我們失去了一位天才"。正是由於弗利德里希慧眼識英才，經常勸導姐夫讓孩子向學者方面發展，才使得高斯沒有成為園丁或者泥瓦匠。
在數學史上，很少有人象高斯一樣很幸運地有一位鼎力支援他成才的母親。羅捷雅直到34歲才出嫁，生下高斯時已有35歲了。她性格堅強、聰明賢慧、富有幽默感。高斯一生下來，就對一切現象和事物十分好奇，而且決心弄個水落石出，這已經超出了一個孩子能被許可的範圍。當丈夫為此訓斥孩子時，她總是支援高斯，堅決反對頑固的丈夫想把兒子變得跟他一樣無知。
羅捷雅真地希望兒子能幹出一番偉大的事業，對高斯的才華極為珍視。然而，她也不敢輕易地讓兒子投入當時尚不能養家餬口的數學研究中。在高斯19歲那年，儘管他已做出了許多偉大的數學成就，但她仍向數學界的朋友W.波爾約（W.Bolyai，非歐幾何創立者之一J.波爾約之父）問道：高斯將來會有出息嗎？W.波爾約說她的兒子將是"歐洲最偉大的數學家"，為此她激動得熱淚盈眶。
7歲那年，高斯第一次上學了。頭兩年沒有什麼特殊的事情。1787年高斯10歲，他進入了學習數學的班次，這是一個首次創辦的班，孩子們在這之前都沒有聽說過算術這麼一門課程。數學教師是布特納，他對高斯的成長也起了一定作用。
當然，這也是一個等差數列的求和問題。當布特納剛一寫完時，高斯也算完並把寫有答案的小石板交了上去。E．T．貝爾寫道，高斯晚年經常喜歡向人們談論這件事，說當時只有他寫的答案是正確的，而其他的孩子們都錯了。高斯沒有明確地講過，他是用什麼方法那麼快就解決了這個問題。數學史家們傾向於認為，高斯當時已掌握了等差數列求和的方法。一位年僅10歲的孩子，能獨立發現這一數學方法實屬很不平常。貝爾根據高斯本人晚年的說法而敘述的史實，應該是比較可信的。而且，這更能反映高斯從小就注意把握更本質的數學方法這一特點。
高斯的計算能力，更主要地是高斯獨到的數學方法、非同一般的創造力，使布特納對他刮目相看。他特意從漢堡買了最好的算術書送給高斯，說：“你已經超過了我，我沒有什麼東西可以教你了。”接著，高斯與布特納的助手巴特爾斯建立了真誠的友誼，直到巴特爾斯逝世。他們一起學習，互相幫助，高斯由此開始了真正的數學研究。
1788年，11歲的高斯進入了文科學校，他在新的學校裡，所有的功課都極好，特別是古典文學、數學尤為突出。經過巴特爾斯等人的引薦，布倫茲維克公爵召見了14歲的高斯。這位樸實、聰明但家境貧寒的孩子贏得了公爵的同情，公爵慷慨地提出願意作高斯的資助人，讓他繼續學習。布倫茲維克公爵在高斯的成才過程中起了舉足輕重的作用。不僅如此，這種作用實際上反映了歐洲近代科學發展的一種模式，表明在科學研究社會化以前，私人的資助是科學發展的重要推動因素之一。高斯正處於私人資助科學研究與科學研究社會化的轉變時期。
1792年高斯進入布倫茲維克的卡羅琳學院繼續學習。1795年，公爵又為他支付各種費用，送他入德國著名的哥丁根大學，這樣就使得高斯得以按照自己的理想，勤奮地學習和開始進行創造性的研究。1799年，高斯完成了博士論文，回到家鄉布倫茲維克，正當他為自己的前途、生計擔憂而病倒時─雖然他的博士論文順利透過了，已被授予博士學位，同時獲得了講師職位，但他沒有能成功地吸引學生，因此只能回老家-又是公爵伸手救援他。公爵為高斯付諸了長篇博士論文的印刷費用，送給他一幢公寓，又為他印刷了《算術研究》，使該書得以在1801年問世；還負擔了高斯的所有生活費用。所有這一切，令高斯十分感動。他在博士論文和《算術研究》中，寫下了情真意切的獻詞："獻給大公"，"你的仁慈，將我從所有煩惱中解放出來，使我能從事這種獨特的研究"。
1806年，公爵在抵抗拿破崙統帥的法軍時不幸陣亡，這給高斯以沉重打擊。他悲痛欲絕，長時間對法國人有一種深深的敵意。大公的去世給高斯帶來了經濟上的拮据，德國處於法軍奴役下的不幸，以及第一個妻子的逝世，這一切使得高斯有些心灰意冷，但他是位剛強的漢子，從不向他人透露自己的窘況，也不讓朋友安慰自己的不幸。人們只是在19世紀整理他的未公佈於眾的數學手稿時才得知他那時的心態。在一篇討論橢圓函式的手搞中，突然插入了一段細微的鉛筆字："對我來說，死去也比這樣的生活更好受些。"
為了不使德國失去最偉大的天才，德國著名學者洪堡（B.A.Von Humboldt）聯合其他學者和政界人物，為高斯爭取到了享有特權的哥丁根大學數學和天文學教授，以及哥丁根天文臺臺長的職位。1807年，高斯赴哥丁根就職，全家遷居於此。從這時起，除了一次到柏林去參加科學會議以外，他一直住在哥丁根。洪堡等人的努力，不僅使得高斯一家人有了舒適的生活環境，高斯本人可以充分發揮其天才，而且為哥丁根數學學派的創立、德國成為世界科學中心和數學中心創造了條件。同時，這也標誌著科學研究社會化的一個良好開端。
高斯有"數學王子"、"數學家之王"的美稱、被認為是人類有史以來"最偉大的四位數學家之一"（阿基米德、牛頓、高斯、尤拉）。人們還稱讚高斯是"人類的驕傲"。天才、早熟、高產、創造力不衰、……，人類智力領域的幾乎所有褒獎之詞，對於高斯都不過份。
高斯開闢了許多新的數學領域，從最抽象的代數數論到內蘊幾何學，都留下了他的足跡。從研究風格、方法乃至所取得的具體成就方面，他都是18─19世紀之交的中堅人物。如果我們把18世紀的數學家想象為一系列的高山峻嶺，那麼最後一個令人肅然起敬的巔峰就是高斯；如果把19世紀的數學家想象為一條條江河，那麼其源頭就是高斯。
雖然數學研究、科學工作在18世紀末仍然沒有成為令人羨慕的職業，但高斯依然生逢其時，因為在他快步入而立之年之際，歐洲資本主義的發展，使各國政府都開始重視科學研究。隨著拿破崙對法國科學家、科學研究的重視，俄國的沙皇以及歐洲的許多君主也開始對科學家、科學研究刮目相看，科學研究的社會化程序不斷加快，科學的地位不斷提高。作為當時最偉大的科學家，高斯獲得了不少的榮譽，許多世界著名的科學泰斗都把高斯當作自己的老師。1802年，高斯被俄國聖彼得堡科學院選為通訊院士、喀山大學教授；1818年，丹麥政府任命他為科學顧問，這一年，德國漢諾威政府也聘請他擔任政府科學顧問。
當時的天文界正在為火星和木星間龐大的間隙煩惱不已，認為火星和木星間應該還有行星未被發現。在1801年，義大利的天文學家Piazzi，發現在火星和木星間有一顆新星。它被命名為“穀神星”。我們知道它是火星和木星的小行星帶中的一個，但當時天文學界爭論不休，有人說這是行星，有人說這是彗星。必須繼續觀察才能判決，但是Piazzi只能觀察到它9度的軌道，再來，它便隱身到太陽後面去了。因此無法知道它的軌道，也無法判定它是行星或彗星。高斯這時對這個問是產生興趣，他決定解決這個捉摸不到的星體軌跡的問題。高斯自己獨創了只要三次觀察，就可以來計算星球軌道的方法。他可以極準確地預測行星的位置。果然，穀神星準確無誤的在高斯預測的地方出現。這個方法－－雖然他當時沒有公佈－－就是“最小平方法”（Method of Least Square)。
1802年，他又準確預測了小行星二號－－智神星的位置，這時他的聲名遠播，榮譽滾滾而來，俄國聖彼得堡科學院選他為會員，發現Pallas的天文學家Olbers請他當哥廷根天文臺主任，他沒有立刻答應，到了1807年才前往哥廷根就任。
1827年他發表了《曲面的一般研究》，涵蓋一部分大學唸的“微分幾何”
1833年高斯從他的天文臺拉了一條長八千尺的電線，跨過許多人家的屋頂，一直到韋伯的實驗室，以伏特電池為電源，構造了世界第一個電報機。高斯對自己的工作態度是精益求精，非常嚴格地要求自己的研究成果。他自己曾說：寧可發表少，但發表的東西是成熟的成果。許多當代的數學家要求他，不要太認真，把結果寫出來發表，這對數學的發展是很有幫助的。其中一個有名的例子是關於非歐幾何的發展。非歐幾何的的開山祖師有三人，高斯、 洛巴切夫斯基，波爾約。其中波爾約的父親是高斯大學的同學，他曾想試著證明平行公理，雖然父親反對他繼續從事這種看起來毫無希望的研究，小波爾約還是沉溺於平行公理。最後發展出了非歐幾何，並且在1832～1833年發表了研究結果，老波爾約把兒子的成果寄給老同學高斯，想不到高斯卻回通道：我無法誇讚他，因為誇讚他就等於誇獎我自己。早在幾十年前，高斯就已經得到了相同的結果，只是怕不能為世人所接受而沒有公佈而已。美國的著名數學家貝爾，在他著的《數學工作者》一書裡曾經這樣批評高斯：在高斯死後，人們才知道他早就預見一些十九世的數學，而且在1800年之前已經期待它們的出現。如果他能把他所知道的一些東西洩漏，很可能比當今數學還要先進半個世紀或更多的時間。阿貝爾和雅可比可以從高斯所停留的地方開始工作，而不是把他們最好的努力花在發現高斯早在他們出生時就知道的東西。而那些非歐幾何學的創造者，可以把他們的天才用到其他方面去。
雖然高斯作為一個數學家而聞名於世，但這並不意味著他熱愛教書。儘管如此，他越來越多的學生成為有影響的數學家，如後來聞名於世的戴德金和黎曼。
高斯非常信教且保守。他的父親死於1808年4月14日，晚些時候的1809年10月11日，他的第一位妻子Johanna也離開人世。次年8月4日高斯迎娶第二位妻子Friederica Wilhelmine （1788-1831）。他們又有三個孩子：Eugen （1811-1896）,Wilhelm （1813-1883） 和 Therese （1816-1864）。1831年9月12日她的第二位妻子也死去，1837年高斯開始學習俄語。1839年4月18日，他的母親在哥廷根逝世，享年95歲。高斯於1855年2月23日凌晨1點在哥廷根去世。他的很多散佈在給朋友的書信或筆記發現於1898年。
逸聞趣事
高斯智斷瓶中線 ：卡爾·弗里德里希·高斯（1777－1855年）是德國19世紀著名的數學家、物理學家。高斯不到20歲時，在許多學科上就已取得了不小的成就。對於高斯接二連三的成功，鄰居的幾個小夥子很不服氣，決心要為難他一下。
小夥子們聚到一起冥思苦想，終於想出了一道難題。他們用一根細棉線繫上一塊銀幣，然後再找來一個非常薄的玻璃瓶，把銀幣懸空垂放在瓶中，瓶口用瓶塞塞住，棉線的另一頭也系在瓶塞上。準備好以後，他們小心翼翼地捧著瓶子，在大街上攔住高斯，用挑釁的口吻說道，“你一天到晚捧著書本，拿著放大鏡東遊西逛，一副蠻有學問的樣子，你那麼有本事，能不碰破瓶子，不去掉瓶塞，把瓶中的棉線弄斷嗎？”
高斯對他們這種無聊的挑釁很生氣，本不想理他們，可當他看了瓶子後，又覺得這道難題還的確有些意思，於是認真地想著解題的辦法來。繁華的大街商店林立，人流如川。在小夥子為能難倒高斯而得意之時，大街上的圍觀者越來越多。大家興趣甚濃，都在想著法子，但無濟於事，除了搖頭自嘲之外，只好把期冀的目光投向高斯。高斯呢，眉頭緊皺，一聲不吭。小夥子們更得意了，他們為自己高明的難題而叫絕。有人甚至***難道：“怎麼樣，你智力有限吧，實在解不出，就把你得到的那麼多榮譽證書拿到大街上當眾燒掉，以後別再逞能了。”
高斯的確氣惱，但他仍剋制住，不受圍觀者嘈雜吵嚷的影響而冷靜思考。他無意地看了看明媚的陽光，又望了望那個瓶子，忽然高興地叫道：“有辦法了。”說著從口袋裡拿出一面放大鏡，對著瓶子裡的棉線照著，一分鐘、兩分鐘..人們好奇地睜大了眼，隨著錢幣“鐺”的一聲掉落瓶底，大家發現棉線被燒斷了。
高斯高聲說道：“我是把太陽光聚焦，讓這個熱度很高的焦點穿過瓶子，照射在棉線上，使棉線燒斷。太陽光幫了我的忙。”
人們不由發出一陣歡呼聲，那幾個小夥子也佩服得連連讚歎。
斯托克斯
斯托克斯(George GabrielStokes),英國數學家、物理學家。1819年8月13日生於愛爾蘭的一個小鎮，1903年2月1日6卒於英國劍橋。
斯托克斯是六兄妹中最小的一個，從小就非常有教養。他的父親是一個有知識的人，注重拓寬孩子們的知識面，如教他們學習拉丁語等等。1832年，斯托克斯進入都析林學校學習。學習期間，他的父親因病去世，他只能寄居在叔叔家中，而不能象別的孩子那樣寄宿，因為家庭已負擔不起他的生活開支。
1835年，16歲的斯托克斯來到英格蘭，在布里斯托爾學院求學。1837年至1841，在彭布羅克（Pembroke）學院學習，畢業時，以在數學方面優異的成績獲得了史密斯獎學金（他是獲得此獎學金的第一人）。此後，他在別人的指導下著手流體動力學方面的研究工作。1842年到1843年期間斯托克斯發表了題為“不可壓縮流體運動”的論文。使他成為一名數學家的最重要的轉折點也許是1846年他所作的“關於流體動力學的研究”的報告。1849年，斯托克斯被聘任為劍橋大學的數學教授，同時獲得劍橋大學盧卡斯數學教授席位（Lucasian Chair of Mathematics），並任盧卡斯教授長達50年，1851年當選皇家學會會員，1854年被推選到英國皇家學會工作，1852年獲皇家會Rumford獎。1854年至1885年，他一直擔任皇家學會的秘書。此期間的1857年他和一位天文學家的女兒結婚。1886年至1890年當選為皇家學會的主席，同時在1886年當選為維多利亞學院的院長直至1903年死去。斯托克斯為繼I.牛頓之後任盧卡斯數學教授席位、皇家學會書記、皇家學會會長這三項職務的第二個人。
斯托克斯的研究是建立在劍橋大學前一輩科學家的研究成果之上的，對他有重要影響的科學家包括拉格朗日、拉普拉斯、付裡葉、泊阿松和柯西等人。
斯托克斯在對光學和流體動力學進行研究時，推匯出了在曲線積分中最有名的被後人稱之為“斯托斯公式”的定理。直至現代，此定理在數學、物理學等方面都有著重要而深刻的影響。
主要貢獻
斯托克斯的主要貢獻是對粘性流體運動規律的研究。C．－L．－M．－H．納維從分子假設出發，將L．尤拉關於流體運動方程推廣，1821年獲得帶有一個反映粘性的常數的運動方程。1845年斯托克斯從改用連續系統的力學模型和牛頓關於粘性流體的物理規律出發，在《論運動中流體的內摩擦理論和彈性體平衡和運動的理論》中給出粘性流體運動的基本方程組，其中含有兩個常數，這組方程後稱納維-斯托克斯方程，它是流體力學中最基本的方程組。1851年，斯托克斯在《流體內摩擦對擺運動的影響》的研究報告中提出球體在粘性流體中作較慢運動時受到的阻力的計算公式，指明阻力與流速和粘滯係數成比例，這是關於阻力的斯托斯公式。斯托克斯發現流體表面波的非線性特徵，其波速依賴於波幅，並首次用攝動方法處理了非線性波問題（1847）。
斯托克斯對彈性力學也有研究，他指出各向同性彈性體中存在兩種基本抗力，即體積壓縮的抗力和對剪下的抗力，明確引入壓縮剛度的剪下剛度（1845），證明彈性縱波是無旋容脹波，彈性橫波是等容畸變波（1849）。
斯托克斯在數學方面以場論中關於線積分和麵積分之間的一個轉換公式（斯托克斯公式）而聞名。
1849年, 斯托克斯發表了著名的“顆粒沉降理論”(Sementation Theory): 水中懸浮的顆粒, 受重力而向下, 受浮力而向上, 最後會趨於平衡.
1851年, 他發現雖然石英與玻璃看似相同, 但用紫外線一照, 石英可讓紫外線穿透, 玻璃卻只能讓可見光穿透, 無法讓紫外線透過. 這個發現使他榮升為英國皇家科學院的會員.
斯托克斯以他的“黏滯度定律”(law of viscosity, 1851年)發展了流體動力學(hydrodynamics), 描述小球體(sphere)經過黏滯流體(viscous fluid)的速度, 所以運動黏度單位 — stokes(斯托克斯) — 便以他的名字命名.
1852年, 斯托克斯用向量(vector)與流線(stream line)解釋水的運動情形.
他也研究光波的理論, 並於1852年命名和說明熒光性的現象(phenomenon of fluorescence). 他發表了地球磁場的變動, 開創了“大地測量學”(geodesy).
“斯托克斯”這個名字成為科學界所熟悉的名字:土木工程系的黏滯流體力學有“斯托克斯定律”(Stokes’law); 數學系的向量分析學(vector analysis)裡有“斯托克斯原理”; 物理系的光學裡有“斯托克斯效應”; 地質系裡也可找到斯托克斯對於地球重力場的研究和貢獻.