bsgs演算法

bsgs演算法

bsgs演算法，又稱大小步演算法（某大神稱拔山蓋世演算法）。

主要用來解決   A^x=B(mod C)(C是質數)，都是整數，已知A、B、C求x。（poj 2417 Discrete Logging）

具體步驟如下：

先把x=i*m-j，其中m=ceil(sqrt(C))，（ceil是向上取整）。

這樣原式就變為A^(i*m-j)=B(mod C)，

再變為A^j×B=A^(m*i) (mod C)。

列舉j(範圍0-m),將A^j×B存入hash表

列舉i(範圍1-m),從hash表中尋找第一個滿足A^j×B=A^(m*i) (mod C)。

此時x=i*m-j即為所求。

在網上看到的其他題解大多用的是x=i*m+j，也可以做，只是會牽扯的求逆元，所以比較麻煩。使x=i*m-j就可以輕鬆避免這個問題了。

那麼肯定有人會有疑問為何只計算到m=ceil(sqrt(C))就可以確定答案呢？

x=i*m-j  也就是x 的最大值不會超過p,那超過p的怎麼辦 ？

有一個公式  a^(k mod p-1)=a^k (mod p)     這個公式的推導需要用到費馬小定理

k mod p-1可以看做 k-m（p-1）  ,原式可化成  a^k/(a^(p-1))^m=a^k (mod p)   

根據費馬小定理 a^(p-1)=1  (mod p) 其中p為質數 ，a,p 互質，可得a^k/1^m=a^k  (mod p)   a^k=a^k (mod p) 得證。

#include<iostream>  
#include<cstdio>  
#include<cstring>  
#include<algorithm>  
#include<map>  
#include<cmath>   
using namespace std;  
long long a,b,c,m,f[10000000];  
map<long long,int> mp;  
long long  qsm(long long x)  //快速冪
{  
  long long sum=1; long long aa=a;   
  while (x>0)  
   {  
     if (x&1)  
      sum=(sum*aa)%c;  
     x=x>>1;  
     aa=(aa*aa)%c;  
   }  
  return sum;  
}  
int main()  
{  
  mp.clear();   
  while (scanf("%lld%lld%lld",&c,&a,&b)!=EOF)  
   {
     mp.clear();  
     if (a%c==0)   //判斷a,c 是否互質，因為c 是質數，所以直接判斷是否整除即可
     {  
        printf("no solution\n");  
        continue;  
     }  
     int p=false;  
     m=ceil(sqrt(c)); 
	 long long ans;  
     for (int i=0;i<=m;i++)  
      { 
         if (i==0)
          {
          	ans=b%c; mp[ans]=i; continue;
          }
         ans=(ans*a)%c;    
         mp[ans]=i;  
      } 
	 long long t=qsm(m); ans=1;
     for (int i=1;i<=m;i++)  
      {  
        ans=(ans*t)%c;  
        if (mp[ans])  
         {  
            int t=i*m-mp[ans];  
            printf("%d\n",(t%c+c)%c);  
            p=true;  
            break;  
         }  
      }  
     if (!p)   
      printf("no solution\n");  
   }  
}