滿滿一黑板的「天書」，會是「猜想界皇冠」破解的開始嗎？
昨天，有關試證黎曼猜想的新研究又一次引爆了數學圈。
MIT 數學教授 Larry Guth 和牛津大學數學研究所教授、2022 菲爾茲獎得主 James Maynard 撰寫論文《New large value estimates for Dirichlet polynomials》，首次對數學家 Albert Ingham 在 1940 年左右關於黎曼 ζ 函式零點（以及更廣泛地控制各種 Dirichlet 級數的大值）的經典界限做出了實質性改進。
論文地址：https://arxiv.org/pdf/2405.20552
對於 Guth 和 Maynard 的新突破，知名華裔數學家陶哲軒評價道：「他們在研究黎曼猜想方面取得了重要進展，儘管離解決這一歷史悠久的數學問題還有很長的路要走 。」
今天，兩位論文作者 Larry Guth 和 James Maynard 分別做了主題為《狄利克雷多項式大值的新界限，第一部分》以及《狄利克雷多項式大值的新界限，第二部分》的講座。
狄利克雷多項式界限在與素數分佈相關的幾個問題中發揮重要作用，它們可以用來限制黎曼 zeta 函式在垂直條帶中的零點數量，這與短間隔內的素數分佈有關。狄利克雷多項式可以表示為：
主要問題在於 D (t) 超水平集的大小。作者進行歸一化，使得係數範數最多為 1，然後研究超水平集 | D (t)| > N^\sigma，其中 sigma 指數介於 1/2 和 1 之間。
其中對於較大的 sigma 值，數學家 Montgomery 證明了該超水平集具有非常強的界限。但對於 sigma \le 3/4，最知名的界限來自非常簡單的正交性論證（而且這些界限似乎並不尖銳）。作者將已知的 sigma 界限改進到接近 3/4，相關工作正在進行中。
James Maynard 講座介紹
講座一開始，James Maynard 引用了 Freeman Dyson 的著名比喻，將數學家分為鳥和青蛙。鳥喜歡從高處俯瞰全域性，思考宏觀的數學結構；青蛙則喜歡深入具體的細節，解決具體的問題。Maynard 自認是一隻青蛙，更注重細節問題的解決。
在演講中，Maynard 主要介紹了他和 Larry 共同研究成果，特別是關於 Dirichlet 多項式的大值問題。這些研究在解析數論中具有重要意義。
Maynard 希望透過這次演講，更好的展示他們的研究結果、這些結果如何融入解析數論的整體背景，以及一些關鍵的證明思路。
為了將晦澀難懂的數學問題解釋的更加清楚，Maynard 採用板書的形式進行講解，並寫下了滿屏的推導公式：
整場演講長達 1 小時 12 分，內容輸出非常密集。著名數學家陶哲軒簡單明瞭的概括了這次研究的新進展， 解釋了從黎曼猜想到當前最新進展的邏輯推導鏈條，展示了每個假設和估計之間的關係及其在解析數論中的重要性。
James Maynard 完整影片參見如下：
Larry Guth 講座介紹
Larry Guth 表示， James Maynard 的第一部分講座介紹了狄利克雷多項式的問題、工作以及關鍵思想。他此次講座將進一步剖析證明過程，包括解釋問題的背景、證明的細節。
他首先描述了問題的設定，即分析狄利克雷多項式大值的新界限，狄利克雷多項式範數在特定集合上的大小，並討論了已有的簡單估計方法（如均值定理）及它們的侷限性。
然後他介紹了自己工作提出的新定理，提出在某些引數範圍內對原有估計進行了改進。此外他還展示了近似反例的存在，證明了簡單估計方法的侷限性，並討論了特定情況下可能存在的精確轉變點。
接下來，他討論了在處理狄利克雷多項式問題時所使用的工具，並指出這些工具無法區分近似反例和原始問題的設定。他對比了兩種不同的頻率設定，探討了每個設定的特點。透過分析低能量和高能量兩種情況，他展示瞭如何使用矩陣的奇異值和牛津大學著名數學家 Heath-Brown 的工作來獲得更好的估計結果。
其中在低能量情況下，他強調了傅立葉變換的使用和能量的定義；在高能量情況下，他則利用加法結構來改進估計。最後，他總結了這些方法的有效性。
Larry Guth 完整影片參見如下：
輔助工具：ChatGPT
參考連結：
https://www.ias.edu/video/new-bounds-large-values-dirichlet-polynomials-part-1