二叉樹的五個性質

二叉樹的5個性質

1.在二叉樹的第i層上最多有2 ^i-1 個節點 

    1層   1個  2⁰

    2層    2個 2¹

    3層    4個 2²

    .....

    i層      2 ^i-1個

 

2.二叉樹中如果深度為k,那麼最多有2^k-1個節點

 

3.n₀=n₂+1  n₀表示度數為0的節點 n₂表示度數為2的節點

    推導過程 根據兩個公式

    1. n=n₀+n₁+n₂    n表示二叉樹中的節點總個數,n₁表示度數為1的節點個數

    2.n-1=2n₂+n₁      通過觀察二叉樹我們可知，除了根節點之外，其餘的任何節點都有一個入口分支，其他節點都有一個入口分支，那麼節點的總分支數等於節點個數減一，度數為2的節點有2個出口分支，度數為一的有1個出口分支，度數為0的節點沒有出口分支 所以總的分支個數為 2n₂+n₁

 

4.在完全二叉樹中，具有n個節點的完全二叉樹的深度為[log₂n]+1，其中[log₂n]+1是向下取整

     推導過程根據性質 2: 假設深度為k 的滿二叉樹的節點個數一定為2^k-1，那麼n=2^k-1推得滿二叉樹的度數為k=log₂(n+1);

 完全二叉樹是具有n個節點的二叉樹，若按層序編號那麼其編號與同樣深度的滿二叉樹的節點編號在二叉樹的位置相同，那麼他就是完全二叉樹，也就是說他的葉子幾點只可能出現在最下邊的兩層，他的深度等於滿二叉的深度，但他的節點一定少於等於滿二叉樹的節點個數，但一定多與2^k-1-1,2^k-1-1第度數為k-1層的滿二叉樹的節點個數，那麼n就滿足2^k-1-1k-1,由於n為整數那麼n<=2^k-1可以推出n<=2^k ,n>2^k-1-1可以推出 n>=2^k-1,所以2^k-1k  ,即可得k-1<=log₂n2n]+1

 

5.如果有一顆有n個節點的完全二叉樹的節點按層次序編號，對任一層的節點i（1<=i<=n）有

    1.如果i=1，則節點是二叉樹的根，無雙親，如果i>1，則其雙親節點為[i/2]，向下取整

    2.如果2i>n那麼節點i沒有左孩子，否則其左孩子為2i

    3.如果2i+1>n那麼節點沒有右孩子，否則右孩子為2i+1

    大家可以通過畫圖驗證以上性質

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