大四畢業前夕，計算機學院的小灰又一次頂著炎炎烈日，
去某IT公司面試研發工程師崗位……
半小時後，公司會議室，面試開始……
小灰奮筆疾書，五分鐘後……
小灰的思路十分簡單。他使用暴力列舉的方法，試圖尋找到一個合適的整數 i，看看這個整數能否被兩個整型引數numberA和numberB同時整除。
這個整數 i 從2開始迴圈累加，一直累加到 numberA 和 numberB 中較小引數的一半為止。迴圈結束後，上一次尋找到的能夠被兩數整除的最大 i 值，就是兩數的最大公約數。
事後，垂頭喪氣的小灰去請教同系的學霸大黃……
輾轉相除法， 又名歐幾里得演算法（Euclidean algorithm），目的是求出兩個正整數的最大公約數。它是已知最古老的演算法， 其可追溯至公元前300年前。
這條演算法基於一個定理：兩個正整數a和b（a>b），它們的最大公約數等於a除以b的餘數c和b之間的最大公約數。比如10和25，25除以10商2餘5，那麼10和25的最大公約數，等同於10和5的最大公約數。
有了這條定理，求出最大公約數就簡單了。我們可以使用遞迴的方法來把問題逐步簡化。
首先，我們先計算出a除以b的餘數c，把問題轉化成求出b和c的最大公約數；然後計算出b除以c的餘數d，把問題轉化成求出c和d的最大公約數；再然後計算出c除以d的餘數e，把問題轉化成求出d和e的最大公約數……
以此類推，逐漸把兩個較大整數之間的運算簡化成兩個較小整數之間的運算，直到兩個數可以整除，或者其中一個數減小到1為止。
五分鐘後，小灰改好了程式碼……
更相減損術， 出自於中國古代的《九章算術》，也是一種求最大公約數的演算法。
他的原理更加簡單：兩個正整數a和b（a>b），它們的最大公約數等於a-b的差值c和較小數b的最大公約數。比如10和25，25減去10的差是15,那麼10和25的最大公約數，等同於10和15的最大公約數。
由此，我們同樣可以通過遞迴來簡化問題。首先，我們先計算出a和b的差值c（假設a>b），把問題轉化成求出b和c的最大公約數；然後計算出c和b的差值d（假設c>b），把問題轉化成求出b和d的最大公約數；再然後計算出b和d的差值e（假設b>d），把問題轉化成求出d和e的最大公約數……
以此類推，逐漸把兩個較大整數之間的運算簡化成兩個較小整數之間的運算，直到兩個數可以相等為止，最大公約數就是最終相等的兩個數。
五分鐘後，小灰重寫了程式碼……
眾所周知，移位運算的效能非常快。對於給定的正整數a和b，不難得到如下的結論。其中gcb(a,b)的意思是a,b的最大公約數函式：
當a和b均為偶數，gcb(a,b) = 2*gcb(a/2, b/2) = 2*gcb(a>>1, b>>1)
當a為偶數，b為奇數，gcb(a,b) = gcb(a/2, b) = gcb(a>>1, b)
當a為奇數，b為偶數，gcb(a,b) = gcb(a, b/2) = gcb(a, b>>1)
當a和b均為奇數，利用更相減損術運算一次，gcb(a,b) = gcb(b, a-b)， 此時a-b必然是偶數，又可以繼續進行移位運算。
比如計算10和25的最大公約數的步驟如下：
- 整數10通過移位，可以轉換成求5和25的最大公約數
- 利用更相減損法，計算出25-5=20，轉換成求5和20的最大公約數
- 整數20通過移位，可以轉換成求5和10的最大公約數
- 整數10通過移位，可以轉換成求5和5的最大公約數
- 利用更相減損法，因為兩數相等，所以最大公約數是5
在兩數比較小的時候，暫時看不出計算次數的優勢，當兩數越大，計算次數的節省就越明顯。
最後總結一下上述所有解法的時間複雜度：
1.暴力列舉法：時間複雜度是O(min(a, b)))
2.輾轉相除法：時間複雜度不太好計算，可以近似為O(log(min(a, b)))，但是取模運算效能較差。
3.更相減損術：避免了取模運算，但是演算法效能不穩定，最壞時間複雜度為O(max(a, b)))
4.更相減損術與移位結合：不但避免了取模運算，而且演算法效能穩定，時間複雜度為O(log(max(a, b)))
本文原本只寫到輾轉相除法就終告結束，後來網友們指出還有更優化的解法，看來自己還是才疏學淺，很感謝大家指出問題。另外，方法的引數預設必定是正整數，所以在程式碼中省去了合法性檢查。
文中描述的更相減損術是簡化了的方式。在九章算術原文中多了一步驗證：如果兩數都是偶數，計算差值之前會首先讓兩個數都折半，使得計算次數更少。這種方法做到了部分優化，但古人似乎沒想到一奇一偶的情況也是可以優化的。
由於篇幅所限，本文省略了關於輾轉相除法原和更相減損術的原理及證明。其實證明過程並不複雜，細心的同學們也可以自己嘗試研究一下。謝謝大家的捧場！
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