前文介紹了符號表的兩種實現，無序連結串列和有序陣列，無序連結串列在插入的時候具有較高的靈活性，而有序陣列在查詢時具有較高的效率，本文介紹的二叉查詢樹(Binary Search Tree，BST)這一資料結構綜合了以上兩種資料結構的優點。
二叉查詢樹具有很高的靈活性，對其優化可以生成平衡二叉樹，紅黑樹等高效的查詢和插入資料結構，後文會一一介紹。
一 定義
二叉查詢樹（Binary Search Tree），也稱有序二叉樹（ordered binary tree）,排序二叉樹（sorted binary tree），是指一棵空樹或者具有下列性質的二叉樹：
1. 若任意節點的左子樹不空，則左子樹上所有結點的值均小於它的根結點的值；
2. 若任意節點的右子樹不空，則右子樹上所有結點的值均大於它的根結點的值；
3. 任意節點的左、右子樹也分別為二叉查詢樹。
4. 沒有鍵值相等的節點（no duplicate nodes）。
如下圖，這個是普通的二叉樹：
在此基礎上，加上節點之間的大小關係，就是二叉查詢樹：
二 實現
在實現中，我們需要定義一個內部類Node，它包含兩個分別指向左右節點的Node，一個用於排序的Key，以及該節點包含的值Value，還有一個記錄該節點及所有子節點個數的值Number。
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public class BinarySearchTreeSymbolTable<TKey, TValue> : SymbolTables<TKey, TValue> where TKey : IComparable<TKey>, IEquatable<TValue> { private Node root; private class Node { public Node Left { get; set; } public Node Right { get; set; } public int Number { get; set; } public TKey Key { get; set; } public TValue Value { get; set; } public Node(TKey key, TValue value, int number) { this.Key = key; this.Value = value; this.Number = number; } } ... } |
查詢
查詢操作和二分查詢類似，將key和節點的key比較，如果小於，那麼就在Left Node節點查詢,如果大於，則在Right Node節點查詢，如果相等，直接返回Value。
該方法實現有迭代和遞迴兩種。
遞迴的方式實現如下：
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public override TValue Get(TKey key) { TValue result = default(TValue); Node node = root; while (node != null) { if (key.CompareTo(node.Key) > 0) { node = node.Right; } else if (key.CompareTo(node.Key) < 0) { node = node.Left; } else { result = node.Value; break; } } return result; } |
迭代的如下：
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public TValue Get(TKey key) { return GetValue(root, key); } private TValue GetValue(Node root, TKey key) { if (root == null) return default(TValue); int cmp = key.CompareTo(root.Key); if (cmp > 0) return GetValue(root.Right, key); else if (cmp < 0) return GetValue(root.Left, key); else return root.Value; } |
插入
插入和查詢類似，首先查詢有沒有和key相同的，如果有，更新；如果沒有找到，那麼建立新的節點。並更新每個節點的Number值，程式碼實現如下：
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public override void Put(TKey key, TValue value) { root = Put(root, key, value); } private Node Put(Node x, TKey key, TValue value) { //如果節點為空，則建立新的節點，並返回 //否則比較根據大小判斷是左節點還是右節點，然後繼續查詢左子樹還是右子樹 //同時更新節點的Number的值 if (x == null) return new Node(key, value, 1); int cmp = key.CompareTo(x.Key); if (cmp < 0) x.Left = Put(x.Left, key, value); else if (cmp > 0) x.Right = Put(x.Right, key, value); else x.Value = value; x.Number = Size(x.Left) + Size(x.Right) + 1; return x; } private int Size(Node node) { if (node == null) return 0; else return node.Number; } |
插入操作圖示如下：
下面是插入動畫效果：
隨機插入形成樹的動畫如下，可以看到，插入的時候樹還是能夠保持近似平衡狀態：
最大最小值
如下圖可以看出，二叉查詢樹的最大最小值是有規律的：
從圖中可以看出，二叉查詢樹中，最左和最右節點即為最小值和最大值，所以我們只需迭代呼叫即可。
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public override TKey GetMax() { TKey maxItem = default(TKey); Node s = root; while (s.Right != null) { s = s.Right; } maxItem = s.Key; return maxItem; } public override TKey GetMin() { TKey minItem = default(TKey); Node s = root; while (s.Left != null) { s = s.Left; } minItem = s.Key; return minItem; } |
以下是遞迴的版本：
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public TKey GetMaxRecursive() { return GetMaxRecursive(root); } private TKey GetMaxRecursive(Node root) { if (root.Right == null) return root.Key; return GetMaxRecursive(root.Right); } public TKey GetMinRecursive() { return GetMinRecursive(root); } private TKey GetMinRecursive(Node root) { if (root.Left == null) return root.Key; return GetMinRecursive(root.Left); } |
Floor和Ceiling
查詢Floor(key)的值就是所有<=key的最大值，相反查詢Ceiling的值就是所有>=key的最小值，下圖是Floor函式的查詢示意圖：
以查詢Floor為例，我們首先將key和root元素比較，如果key比root的key小，則floor值一定在左子樹上；如果比root的key大，則有可能在右子樹上，當且僅當其右子樹有一個節點的key值要小於等於該key；如果和root的key相等，則floor值就是key。根據以上分析，Floor方法的程式碼如下，Ceiling方法的程式碼類似，只需要把符號換一下即可：
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public TKey Floor(TKey key) { Node x = Floor(root, key); if (x != null) return x.Key; else return default(TKey); } private Node Floor(Node x, TKey key) { if (x == null) return null; int cmp = key.CompareTo(x.Key); if (cmp == 0) return x; if (cmp < 0) return Floor(x.Left, key); else { Node right = Floor(x.Right, key); if (right == null) return x; else return right; } } |
刪除
刪除元素操作在二叉樹的操作中應該是比較複雜的。首先來看下比較簡單的刪除最大最小值得方法。
以刪除最小值為例，我們首先找到最小值，及最左邊左子樹為空的節點，然後返回其右子樹作為新的左子樹。操作示意圖如下：
程式碼實現如下：
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public void DelMin() { root = DelMin(root); } private Node DelMin(Node root) { if (root.Left == null) return root.Right; root.Left = DelMin(root.Left); root.Number = Size(root.Left) + Size(root.Right) + 1; return root; } |
刪除最大值也是類似。
現在來分析一般情況，假定我們要刪除指定key的某一個節點。這個問題的難點在於：刪除最大最小值的操作，刪除的節點只有1個子節點或者沒有子節點，這樣比較簡單。但是如果刪除任意節點，就有可能出現刪除的節點有0個，1 個，2個子節點的情況，現在來逐一分析。
當刪除的節點沒有子節點時，直接將該父節點指向該節點的link設定為null。
當刪除的節點只有1個子節點時，將該自己點替換為要刪除的節點即可。
當刪除的節點有2個子節點時，問題就變複雜了。
假設我們刪除的節點t具有兩個子節點。因為t具有右子節點，所以我們需要找到其右子節點中的最小節點，替換t節點的位置。這裡有四個步驟：
1. 儲存帶刪除的節點到臨時變數t
2. 將t的右節點的最小節點min(t.right)儲存到臨時節點x
3. 將x的右節點設定為deleteMin(t.right)，該右節點是刪除後，所有比x.key最大的節點。
4. 將x的做節點設定為t的左節點。
整個過程如下圖：
對應程式碼如下：
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public void Delete(TKey key) { root =Delete(root, key); } private Node Delete(Node x, TKey key) { int cmp = key.CompareTo(x.Key); if (cmp > 0) x.Right = Delete(x.Right, key); else if (cmp < 0) x.Left = Delete(x.Left, key); else { if (x.Left == null) return x.Right; else if (x.Right == null) return x.Left; else { Node t = x; x = GetMinNode(t.Right); x.Right = DelMin(t.Right); x.Left = t.Left; } } x.Number = Size(x.Left) + Size(x.Right) + 1; return x; } private Node GetMinNode(Node x) { if (x.Left == null) return x; else return GetMinNode(x.Left); } |
以上二叉查詢樹的刪除節點的演算法不是完美的，因為隨著刪除的進行，二叉樹會變得不太平衡，下面是動畫演示。
三 分析
二叉查詢樹的執行時間和樹的形狀有關，樹的形狀又和插入元素的順序有關。在最好的情況下，節點完全平衡，從根節點到最底層葉子節點只有lgN個節點。在最差的情況下，根節點到最底層葉子節點會有N各節點。在一般情況下，樹的形狀和最好的情況接近。
在分析二叉查詢樹的時候，我們通常會假設插入的元素順序是隨機的。對BST的分析類似與快速排序中的查詢：
BST中位於頂部的元素就是快速排序中的第一個劃分的元素，該元素左邊的元素全部小於該元素，右邊的元素均大於該元素。
對於N個不同元素，隨機插入的二叉查詢樹來說，其平均查詢/插入的時間複雜度大約為2lnN，這個和快速排序的分析一樣，具體的證明方法不再贅述，參照快速排序。
四 總結
有了前篇文章 二分查詢的分析，對二叉查詢樹的理解應該比較容易。下面是二叉查詢樹的時間複雜度：
它和二分查詢一樣，插入和查詢的時間複雜度均為lgN，但是在最壞的情況下仍然會有N的時間複雜度。原因在於插入和刪除元素的時候，樹沒有保持平衡。我們追求的是在最壞的情況下仍然有較好的時間複雜度，這就是後面要講的平衡查詢樹的內容了。下文首先講解平衡查詢樹的最簡單的一種：2-3查詢樹。
希望本文對您瞭解二叉查詢樹有所幫助。