淺談 BigInteger.Sqrt 方法

iDotNetSpace發表於2010-10-25

我們知道 .NET Framework 4 中已經有了 System.Numerics.BigInteger 結構。但是該 BigInteger 結構中沒有 Sqrt 方法。那麼就讓我們自己來寫一個吧：

01:  using System;
02:  using System.Numerics;
03:  
04:  namespace Skyiv
05:  {
06:    public static class Extensions
07:    {
08:      public static BigInteger Sqrt(this BigInteger x)
09:      {
10:        if (x.Sign < 0) throw new ArgumentOutOfRangeException("x", "must greater than 0");
11:        BigInteger low, high;
12:        GetLowAndHigh(x, out low, out high);
13:        var mid = low;
14:        var cmp = 0;
15:        while (low.CompareTo(high) <= 0)
16:        {
17:          mid = (low + high) / 2;
18:          cmp = (mid * mid).CompareTo(x);
19:          if (cmp < 0) low = mid + 1;
20:          else if (cmp > 0) high = mid + (-1);
21:          else return mid;
22:        }
23:        if (cmp > 0) mid--;
24:        return mid;
25:      }
26:  
27:      static void GetLowAndHigh(BigInteger x, out BigInteger low, out BigInteger high)
28:      {
29:        var n = x.ToByteArray().Length;
30:        if (n < 2)
31:        {
32:          low = 0;
33:          high = x;
34:          return;
35:        }
36:        var bs = new byte[n / 2 + 1];
37:        var k = bs.Length - 2;
38:        if (n % 2 == 0)
39:        {
40:          bs[k] = 0x0B;
41:          low = new BigInteger(bs);
42:          bs[k] = 0xB6;
43:          high = new BigInteger(bs);
44:        }
45:        else
46:        {
47:          bs[k] = 0xB5;
48:          low = new BigInteger(bs);
49:          bs[k] = 0x51;
50:          bs[k + 1] = 0x0B;
51:          high = new BigInteger(bs);
52:        }
53:      }
54:    }
55:  }

上述程式中第 27 到 53 行的 GetLowAndHigh 方法用於獲得指定的大整數的平方根的下限和上限，然後在第 8 到 25 行的 Sqrt 方法中使用二分搜尋來找出所求的平方根。

BigInteger.ToByteArray 方法將 BigInteger 轉換為位元組陣列。對於大於零的 BigInteger ，轉換後的位元組陣列的長度固定的情況下，最小值為 00-80-00-00-00 形式，最大值為 7F-FF-FF-FF-FF 形式，剛好比下一組最小值小一。如下表所示：

n x Sqrt(x)
2 00-80 0B
3 00-80-00 00-B5
4 00-80-00-00 0B-50
5 00-80-00-00-00 00-B5-04
6 00-80-00-00-00-00 0B-50-4F
7 00-80-00-00-00-00-00 00-B5-04-F3
8 00-80-00-00-00-00-00-00 0B-50-4F-33
9 00-80-00-00-00-00-00-00-00 00-B5-04-F3-33

從上表中可以看到，假設 x 轉換為位元組陣列後，長度為 n ，則 Sqrt(x) 轉換為位元組陣列後，其長度為 n / 2 + 1。

對於 n 為偶數的情況(程式中第 40 到 43 行)：

  • 最小值大於 00-0B-00-00-...
  • 最大值小於 00-B6-00-00-...

對於 n 為奇數的情況(程式中第 47 到 51 行)：

  • 最小值大於 00-B5-00-00-...
  • 最大值小於 0B-51-00-00-...

在 .NET Framework 2.0 中並沒有 BigInteger。我以前自己用 C# 寫過 BigInteger，也實現了 Sqrt 方法。可以參見以下隨筆：

使用快速傅立葉變換實現 BigInteger 時，是呼叫 BigArithmetic 類的靜態方法。其中 Sqrt 方法是使用牛頓迭代法計算平方根：

Ui+1 = Ui (3 - VUi2) / 2

則 U∞二次收斂於 1/√V，最後乘以 V 就得到√V。求平方根的速度比本文中的二分搜尋法要快。

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