今天推出的是網路SBM模型。
傳統的SBM模型處理關於多輸入與多輸出的dmu相對效率的測量。這些模型的缺點之一是忽略了中間產品或連結活動。在指出將中間產品納入DEA模型的需求後，作者提出了一個基於鬆弛的網路DEA模型，稱為網路SBM，它可以形式化地處理中間產品。使用該模型，我們可以評估部門效率以及決策單位(dmu)的整體效率。
其結構圖如下：
變數約束如下：
$$
$$\begin{aligned}
&\mathbf{x}{o}{k}=\mathbf{X}\lambda{k}+\mathbf{s}\quad(k=1,\ldots,K), \
&\mathbf{y}{k}=\mathbf{Y}\lambda{k}-\mathbf{s}\quad(k=1,\ldots,K), \
&\mathbf{e}\lambda^{k}=1\quad(k=1,\ldots,K), \
&\lambda{k}\geqslant\mathbf{0},\mathbf{s}\geqslant\mathbf{0},\mathbf{s}^{k+}\geqslant\mathbf{0},(\forall k), \
&\text{where} \
&\mathbf{X}{k}=(\mathbf{x}_{1},\ldots,\mathbf{x}{n}^{k})\in R^{m\times n}, \
&\mathbf{Y}{k}=(\mathbf{y}_{1},\ldots,\mathbf{y}{n}^{k})\in R^{r\times n},
\end{aligned}$$
$$
不同階段之間的連結約束如下，分為兩種：
1、free：
連結活動是自由確定的(任意的)，同時保持輸入和輸出之間的連續性:
$$
\mathbf{Z}{(k,h)}\lambdah=\mathbf{Z}{(k,h)}\boldsymbol{\lambda}k,(\forall(k,h))
$$
2、fix：
“固定”連結值的情況。連結活動保持不變(非自由裁量):
$$
\mathbf{z}_{o}{(k,h)}=\mathbf{Z}\lambda{h}\quad(\forall(k,h))\\mathbf{z}_{0}=\mathbf{Z}{(k,h)}\lambda\quad(\forall(k,h))
$$
下面是大家喜聞樂見的復現環節，主要復現了文獻中表3的fixed連結和表4的free連結：
可以看到，結果與論文中的完全一致。
如果需要做該模型，請聯絡微信 canglang12002