2-SAT

2-SAT

2-SAT，簡單的說就是給出 \(n\) 個集合，每個集合有兩個元素，已知若干個 \(<a,b>\)，表示 \(a\) 與 \(b\) 矛盾（其中 \(a\) 與 \(b\) 屬於不同的集合）。然後從每個集合選擇一個元素，判斷能否一共選 \(n\) 個兩兩不矛盾的元素。顯然可能有多種選擇方案，一般題中只需要求出一種即可。

對於條件 \(a \lor b\) 可以轉換成 \((\lnot a \rightarrow b) \land (\lnot b \rightarrow a)\)。

那麼我們可以根據這個式子連邊，那麼同一強連通分量的值一定是相等的。

所以如果 \(x\) 與 \(\lnot x\) 在同一個強連通分量中時，一定無解。

強連通分量的編號就是反圖的拓撲序
編號為1的強聯通分量沒有出度

模板：

stack<int> stk;
vector<int> e[N];
int dfn[N],low[N],tot;
int instk[N],scc[N],siz[N],cnt;

void tarjan(int u){
    dfn[u]=low[u]=++tot;
    stk.push(u);instk[u]=1;
    for(auto v:e[u]){
        if(!dfn[v]){
            tarjan(v);
            low[u]=min(low[u],low[v]);
        }else if(instk[v]) low[u]=min(low[u],dfn[v]);
    }
    if(dfn[u]==low[u]){
        int v;++cnt;
        do{
            v=stk.top();
            stk.pop();
            instk[v]=0;
            scc[v]=cnt;
            ++siz[cnt];
        }while(v!=u);
    }
}
void Showball(){
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    while(m--){
        int i,a,j,b;
        cin>>i>>a>>j>>b;
        i--;j--;
        e[(i<<1)+!a].pb((j<<1)+b);
        e[(j<<1)+!b].pb((i<<1)+a);
    }
    for(int i=0;i<2*n;i++){
        if(!dfn[i]) tarjan(i);
    }
    vector<int> ans(n);
    for(int i=0;i<n;i++){
        if(scc[i<<1]==scc[i<<1|1]) return cout<<"IMPOSSIBLE\n",void();
        ans[i]=scc[i<<1|1]<scc[i<<1];
    }
    cout<<"POSSIBLE\n";
    for(int i=0;i<n;i++) cout<<ans[i]<<" ";
}