本文摘錄一些關於數學家勒貝格的故事, 主要參考[1], 非常推薦大家看看原文.
不為人接受的積分理論
勒貝格發明的Lebesgue積分無疑是了不起的成就, 開創了數學新時代. 我當時學習實變函式理論時, 雖然是最基本的理論, 不由得被各種精妙的結論所折服. 但是, 讀到關於勒貝格本人的一些事蹟, 又不不得不多幾份感慨.
首先, 他的這一新奇的理論, 並不是馬上就能被同行專家所接受的.
...在國外，如英國、比利時、奧地利、俄羅斯和波蘭，Lebesgue的積分立刻得到了接納、閘述和應用，但是法國不教授Lebesgue積分，Lebesgue本人也只是借Peccot講座的機會講解過他的積分論自從1921年他被任命為法蘭西學院的教授後，他的所有課程，除極個別例外、都是有關別的課題，直到1950年，Lebesgue積分在世界各國已是一門經典課程，然而在法國，獲得數學教師資格的人可能未曾聽說過Lebesgue積分. Szolem Mandelbrojt曾回憶起他當年的失望當他來到法國時找不到任何地方教授Lcbesgue積分和由此派生的數學理論...
建立Borel測度論的功勞無可爭辯地應屬於Lebesgue.他引入了一類新的集合，其中包括所有的零測集，任何一個Lebesgue意義下的可測集是一個Borel集和一個零測度之並，因此Borel說，Lebesgue 的貢獻僅在於引入了零測集.
(雖然不太禮貌, 但是這樣一語雙關的說法蠻有趣的.)
Lebesgue對Borel的這一說法很傷心，兩人的關係因此開始不和. Lebesgue與Baire的關係也早已出現問題Lebesgue在寫給Borel的書信（Borel的書信和資料一年前已存入科學院的檔案）中解釋了當時矛盾衝突的情況. 1900年代初期Borel最得命運的偏愛，他的妻子很出色，是數學家PaulAppell的女兒：Baire一直在生病；而Lebesgue很貧窮，教學任務繁重（在南錫的中學每週教21小時，為家庭和經濟問題疲備不堪.
(看來勒貝格和我們現在面對的環境差不多.)
Lebesgue積分
這裡簡單回顧一下Lebesgue積分理論.
在 Lebesgue 之前，所謂的積分就是 Riemann 積分, 我想這也是大家在中學時期學習的積分. 為了對函式\(y=f(x)\)求積分，Riemann對自變數區間\((a,b)\)進行分割，進而考慮和式
其中\(y_i\)為區間\((x_i,x_{i+1})\)上變數\(y\)所取的某一值. 如果當分割加細時和式趨向某一極限，該極限就是積分\(\int_a^bf(x)dx\). 於是，稱函式\(f\)在區間\((a,b)\)上 Riemann 可積. Riemann 給出了函式可積的一個必要充分條件. Lebesgue 將該條件用他的測度概念以非常簡單的方式譯為：函式的不連續點集的測度為零.
與 Riemann 不一樣，Lebesgue 分割變數\(y\)的變化區間. 他對分割的每個區間\((y_j,y_{j+1})\) 給出滿足下列條件的點\(x\)的集合的測度
記該測度為 \(m_j\) ,則積分的一個近似值為
如果這些和式當分割加細時趨向於某個極限，該極限就是 Lebesgue 意義下的積分. 於是，Lebesgue 稱該函式是可和的.
1926年，在哥本哈根的一次演講中，Lebesgue是這樣南述他的觀點的.
“按照Riemann的方法，我們對依自變數的大小順序所提供的不可分割的量求和，這有如沒有條理的商人數錢碰到硬市數硬幣，碰到紙市數紙市而我們的做法像有條理的商人的做法：我有一克朗的貨幣\(m(E_1)\)個單位，共值\(1\cdot m(E_1)\); 我有兩克朗的貨幣\(m(E_2)\)個單位，共值\(2\cdot m(E_2)\); 我有五克朗的貨幣\(m(E_5）\)個單位，共值\(5 \cdot m(E_5）\)等等， 故，總共有$$S=1\cdot m(E_1)+2\cdot m(E_2)+5\cdot m(E_5）+...$$
Lebesgue 心目中想得到如下形式的定理:
這個定理可以說是Lebesgue積分理論的精華所在. 有興趣的讀者可以翻閱任何一本實變函式教材, 當然對於數學專業者來說, 已經是再熟悉不過了.
參考
Kahane J ,範愛華(譯).Lebesgue積分的產生及其影響[J].數學進展,2002,(02):97-106. ↩︎