JavaScript 浮點數陷阱及解法

發表於2017-10-12

眾所周知,JavaScript 浮點數運算時經常遇到會 0.0000000010.999999999 這樣奇怪的結果,如 0.1+0.2=0.300000000000000041-0.9=0.09999999999999998,很多人知道這是浮點數誤差問題,但具體就說不清楚了。本文幫你理清這背後的原理以及解決方案,還會向你解釋JS中的大數危機和四則運算中會遇到的坑。

浮點數的儲存

首先要搞清楚 JavaScript 如何儲存小數。和其它語言如 Java 和 Python 不同,JavaScript 中所有數字包括整數和小數都只有一種型別 — Number。它的實現遵循 IEEE 754 標準,使用 64 位固定長度來表示,也就是標準的 double 雙精度浮點數(相關的還有float 32位單精度)。計算機組成原理中有過詳細介紹,如果你不記得也沒關係。

這樣的儲存結構優點是可以歸一化處理整數和小數,節省儲存空間。

64位位元又可分為三個部分:

  • 符號位S:第 1 位是正負數符號位(sign),0代表正數,1代表負數
  • 指數位E:中間的 11 位儲存指數(exponent),用來表示次方數
  • 尾數位M:最後的 52 位是尾數(mantissa),超出的部分自動進一舍零

64 bit allocation

實際數字就可以用以下公式來計算:

$ V = (-1)^{S}\times M \times 2^{E} $

注意以上的公式遵循科學計數法的規範,在十進位制是為0M = 001。E是一個無符號整數,因為長度是11位,取值範圍是 0~2047。但是科學計數法中的指數是可以為負數的,所以再減去一箇中間數 1023,[0,1022]表示為負,[1024,2047] 表示為正。如4.5 的指數E = 1025,尾數M為 001。

最終的公式變成:

$ V = (-1)^{S}\times (M+1) \times 2^{E-1023} $

所以 4.5 最終表示為(M=001、E=1025):

4.5 allocation map

(圖片由此生成 http://www.binaryconvert.com/convert_double.html)

下面再以 0.1 例解釋浮點誤差的原因, 0.1 轉成二進位制表示為 0.0001100110011001100(1100迴圈),1.100110011001100x2^-4,所以 E=-4+1023=1019;M 捨去首位的1,得到 100110011...。最終就是:

0.1 allocation map

轉化成十進位制後為 0.100000000000000005551115123126,因此就出現了浮點誤差。

為什麼 0.1+0.2=0.30000000000000004

計算步驟為:

為什麼 x=0.1 能得到 0.1

恭喜你到了看山不是山的境界。因為 mantissa 固定長度是 52 位,再加上省略的一位,最多可以表示的數是 2^53=9007199254740992,對應科學計數尾數是 9.007199254740992,這也是 JS 最多能表示的精度。它的長度是 16,所以可以使用 toPrecision(16) 來做精度運算,超過的精度會自動做湊整處理。於是就有:

大數危機

可能你已經隱約感覺到了,如果整數大於 9007199254740992 會出現什麼情況呢?
由於 M 最大值是 1023,所以最大可以表示的整數是 2^1024 - 1。這就是能表示的最大整數。但你並不能這樣計算這個數字,因為從 2^1024 開始就變成了 Infinity

那麼對於 (2^53, 2^63) 之間的數會出現什麼情況呢?

  • (2^53, 2^54) 之間的數會兩個選一個,只能精確表示偶數
  • (2^54, 2^55) 之間的數會四個選一個,只能精確表示4個倍數
  • … 依次跳過更多2的倍數

下面這張圖能很好的表示 JavaScript 中浮點數和實數(Real Number)之間的對應關係。我們常用的 (-2^53, 2^53) 只是最中間非常小的一部分,越往兩邊越稀疏越不精確。
fig1.jpg

在淘寶早期的訂單系統中把訂單號當作數字處理,後來隨意訂單號暴增,已經超過了
9007199254740992,最終的解法是把訂單號改成字串處理。

要想解決大數的問題你可以引用第三方庫 bignumber.js,原理是把所有數字當作字串,重新實現了計算邏輯,缺點是效能比原生的差很多。所以原生支援大數就很有必要了,現在 TC39 已經有一個 Stage 3 的提案 proposal bigint,大數問題有問徹底解決。

toPrecision vs toFixed

資料處理時,這兩個函式很容易混淆。它們的共同點是把數字轉成字串供展示使用。注意在計算的中間過程不要使用,只用於最終結果。

不同點就需要注意一下:

  • toPrecision 是處理精度,精度是從左至右第一個不為0的數開始數起。
  • toFixed 是小數點後指定位數取整,從小數點開始數起。

兩者都能對多餘數字做湊整處理,也有些人用 toFixed 來做四捨五入,但一定要知道它是有 Bug 的。

如:1.005.toFixed(2) 返回的是 1.00 而不是 1.01

原因: 1.005 實際對應的數字是 1.00499999999999989,在四捨五入時全部被捨去!

解法:使用專業的四捨五入函式 Math.round() 來處理。但 Math.round(1.005 * 100) / 100 還是不行,因為 1.005 * 100 = 100.49999999999999。還需要把乘法和除法精度誤差都解決後再使用 Math.round。可以使用後面介紹的 number-precision#round 方法來解決。

解決方案

回到最關心的問題:如何解決浮點誤差。首先,理論上用有限的空間來儲存無限的小數是不可能保證精確的,但我們可以處理一下得到我們期望的結果。

資料展示類

當你拿到 1.4000000000000001 這樣的資料要展示時,建議使用 toPrecision 湊整並 parseFloat 轉成數字後再顯示,如下:

封裝成方法就是:

為什麼選擇 12 做為預設精度?這是一個經驗的選擇,一般選12就能解決掉大部分0001和0009問題,而且大部分情況下也夠用了,如果你需要更精確可以調高。

資料運算類

對於運算類操作,如 +-*/,就不能使用 toPrecision 了。正確的做法是把小數轉成整數後再運算。以加法為例:

以上方法能適用於大部分場景。遇到科學計數法如 2.3e+1(當數字精度大於21時,數字會強制轉為科學計數法形式顯示)時還需要特別處理一下。

能讀到這裡,說明你非常有耐心,那我就放個福利吧。遇到浮點數誤差問題時可以直接使用
https://github.com/dt-fe/number-precision

完美支援浮點數的加減乘除、四捨五入等運算。非常小隻有1K,遠小於絕大多數同類庫(如Math.js、BigDecimal.js),100%測試全覆蓋,程式碼可讀性強,不妨在你的應用裡用起來!

參考

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