堆是什麼？是一種特殊的完全二叉樹，就像下面這棵樹一樣。
有沒有發現這棵二叉樹有一個特點，就是所有父結點都比子結點要小（注意：圓圈裡面的數是值，圓圈上面的數是這個結點的編號，此規定僅適用於本節）。符合這樣特點的完全二叉樹我們稱為最小堆。反之，如果所有父結點都比子結點要大，這樣的完全二叉樹稱為最大堆。那這一特性究竟有什麼用呢？
假如有14個數分別是99、5、36、7、22、17、46、12、2、19、25、28、1和92。請找出這14個數中最小的數，請問怎麼辦呢？最簡單的方法就是將這14個數從頭到尾依次掃一遍，用一個迴圈就可以解決。這種方法的時間複雜度是O(14)也就是O(N)。
for(i=1;i<=14;i++)
{
if(a[ i]<min) min=a[ i];
}
現在我們需要刪除其中最小的數，並增加一個新數23，再次求這14個數中最小的一個數。請問該怎麼辦呢？只能重新掃描所有的數，才能找到新的最小的數，這個時間複雜度也是O(N)。假如現在有14次這樣的操作（刪除最小的數後並新增一個新數）。那麼整個時間複雜度就是O(142)即O(N2)。那有沒有更好的方法呢？堆這個特殊的結構恰好能夠很好地解決這個問題。
首先我們先把這個14個數按照最小堆的要求（就是所有父結點都比子結點要小）放入一棵完全二叉樹，就像下面這棵樹一樣。
很顯然最小的數就在堆頂，假設儲存這個堆的陣列叫做h的話，最小數就是h[ 1]。接下來，我們將堆頂的數刪除，並將新增加的數23放到堆頂。顯然加了新數後已經不符合最小堆的特性，我們需要將新增加的數調整到合適的位置。那如何調整呢？
向下調整！我們需要將這個數與它的兩個兒子2和5比較，並選擇較小一個與它交換，交換之後如下。
我們發現此時還是不符合最小堆的特性，因此還需要繼續向下調整。於是繼續將23與它的兩個兒子12和7比較，並選擇較小一個交換，交換之後如下。
到此，還是不符合最小堆的特性，仍需要繼續向下調整直到符合最小堆的特性為止。
我們發現現在已經符合最小堆的特性了。綜上所述，當新增加一個數被放置到堆頂時，如果此時不符合最小堆的特性，則將需要將這個數向下調整，直到找到合適的位置為止，使其重新符合最小堆的特性。
向下調整的程式碼如下。
void siftdown(int i) //傳入一個需要向下調整的結點編號i，這裡傳入1，即從堆的頂點開始向下調整
{
int t,flag=0;//flag用來標記是否需要繼續向下調整
//當i結點有兒子的時候（其實是至少有左兒子的情況下）並且有需要繼續調整的時候迴圈窒執行
while( i*2<=n && flag==0 )
{
//首先判斷他和他左兒子的關係，並用t記錄值較小的結點編號
if( h[ i] > h[ i*2] )
t=i*2;
else
t=i;
//如果他有右兒子的情況下，再對右兒子進行討論
if(i*2+1 <= n)
{
//如果右兒子的值更小，更新較小的結點編號
if(h[ t] > h[ i*2+1])
t=i*2+1;
}
//如果發現最小的結點編號不是自己，說明子結點中有比父結點更小的
if(t!=i)
{
swap(t,i);//交換它們，注意swap函式需要自己來寫
i=t;//更新i為剛才與它交換的兒子結點的編號，便於接下來繼續向下調整
}
else
flag=1;//則否說明當前的父結點已經比兩個子結點都要小了，不需要在進行調整了
}
}
我們剛才在對23進行調整的時候，竟然只進行了3次比較，就重新恢復了最小堆的特性。現在最小的數依然在堆頂為2。之前那種從頭到尾掃描的方法需要14次比較，現在只需要3次就夠了。現在每次刪除最小的數並新增一個數，並求當前最小數的時間複雜度是O(3)，這恰好是O(log214)即O(log2N)簡寫為O(logN)。假如現在有1億個數（即N=1億），進行1億次刪除最小數並新增一個數的操作，使用原來掃描的方法計算機需要執行大約1億的平方次，而現在只需要1億*log1億次，即27億次。假設計算機每秒鐘可以執行10億次，那原來則需要一千萬秒大約115天！而現在只要2.7秒。是不是很神奇，再次感受到演算法的偉大了吧。
說到這裡，如果只是想新增一個值，而不是刪除最小值又該如何操作呢？即如何在原有的堆上直接插入一個新元素呢？只需要直接將新元素插入到末尾，再根據情況判斷新元素是否需要上移，直到滿足堆的特性為止。如果堆的大小為N（即有N個元素），那麼插入一個新元素所需要的時間也是O(logN)。例如我們現在要新增一個數3。
先將3與它的父結點25比較，發現比父結點小，為了維護最小堆的特性，需要與父結點的值進行交換。交換之後發現還是要比它此時的父結點5小，因此需要再次與父結點交換。至此又重新滿足了最小堆的特性。向上調整完畢後如下。
向上調整的程式碼如下。
void siftup(int i) //傳入一個需要向上調整的結點編號i
{
int flag=0; //用來標記是否需要繼續向上調整
if(i==1) return; //如果是堆頂，就返回，不需要調整了
//不在堆頂 並且 當前結點i的值比父結點小的時候繼續向上調整
while(i!=1 && flag==0)
{
//判斷是否比父結點的小
if(h[ i]<h[ i/2])
swap(i,i/2);//交換他和他爸爸的位置
else
flag=1;//表示已經不需要調整了，當前結點的值比父結點的值要大
i=i/2; //這句話很重要，更新編號i為它父結點的編號，從而便於下一次繼續向上調整
}
}
說了半天，我們忽略一個很重要的問題！就是如何建立這個堆。下節繼續關注！
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