二分圖的最大匹配、完美匹配和匈牙利演算法

匈牙利演算法是由匈牙利數學家Edmonds於1965年提出，因而得名。匈牙利演算法是基於Hall定理中充分性證明的思想，它是二部圖匹配最常見的演算法，該演算法的核心就是尋找增廣路徑，它是一種用增廣路徑求二分圖最大匹配的演算法。

這篇文章講無權二分圖（unweighted bipartite graph）的最大匹配（maximum matching）和完美匹配（perfect matching），以及用於求解匹配的匈牙利演算法（Hungarian Algorithm）；不講帶權二分圖的最佳匹配。

二分圖：簡單來說，如果圖中點可以被分為兩組，並且使得所有邊都跨越組的邊界，則這就是一個二分圖。準確地說：把一個圖的頂點劃分為兩個不相交集 U 和 V ，使得每一條邊都分別連線 U、V 中的頂點。如果存在這樣的劃分，則此圖為一個二分圖。二分圖的一個等價定義是：不含有「含奇數條邊的環」的圖。圖 1 是一個二分圖。為了清晰，我們以後都把它畫成圖 2 的形式。

匹配：在圖論中，一個「匹配」（matching）是一個邊的集合，其中任意兩條邊都沒有公共頂點。例如，圖 3、圖 4 中紅色的邊就是圖 2 的匹配。

我們定義匹配點、匹配邊、未匹配點、非匹配邊，它們的含義非常顯然。例如圖 3 中 1、4、5、7 為匹配點，其他頂點為未匹配點；1-5、4-7為匹配邊，其他邊為非匹配邊。

最大匹配：一個圖所有匹配中，所含匹配邊數最多的匹配，稱為這個圖的最大匹配。圖 4 是一個最大匹配，它包含 4 條匹配邊。

完美匹配：如果一個圖的某個匹配中，所有的頂點都是匹配點，那麼它就是一個完美匹配。圖 4 是一個完美匹配。顯然，完美匹配一定是最大匹配（完美匹配的任何一個點都已經匹配，新增一條新的匹配邊一定會與已有的匹配邊衝突）。但並非每個圖都存在完美匹配。

舉例來說：如下圖所示，如果在某一對男孩和女孩之間存在相連的邊，就意味著他們彼此喜歡。是否可能讓所有男孩和女孩兩兩配對，使得每對兒都互相喜歡呢？圖論中，這就是完美匹配問題。如果換一個說法：最多有多少互相喜歡的男孩/女孩可以配對兒？這就是最大匹配問題。

基本概念講完了。求解最大匹配問題的一個演算法是匈牙利演算法，下面講的概念都為這個演算法服務。

交替路：從一個未匹配點出發，依次經過非匹配邊、匹配邊、非匹配邊…形成的路徑叫交替路。

增廣路：從一個未匹配點出發，走交替路，如果途徑另一個未匹配點（出發的點不算），則這條交替路稱為增廣路（agumenting path）。例如，圖 5 中的一條增廣路如圖 6 所示（圖中的匹配點均用紅色標出）：

增廣路有一個重要特點：非匹配邊比匹配邊多一條。因此，研究增廣路的意義是改進匹配。只要把增廣路中的匹配邊和非匹配邊的身份交換即可。由於中間的匹配節點不存在其他相連的匹配邊，所以這樣做不會破壞匹配的性質。交換後，圖中的匹配邊數目比原來多了 1 條。

我們可以通過不停地找增廣路來增加匹配中的匹配邊和匹配點。找不到增廣路時，達到最大匹配（這是增廣路定理）。匈牙利演算法正是這麼做的。在給出匈牙利演算法 DFS 和 BFS 版本的程式碼之前，先講一下匈牙利樹。

匈牙利樹一般由 BFS 構造（類似於 BFS 樹）。從一個未匹配點出發執行 BFS（唯一的限制是，必須走交替路），直到不能再擴充套件為止。例如，由圖 7，可以得到如圖 8 的一棵 BFS 樹：

這棵樹存在一個葉子節點為非匹配點（7 號），但是匈牙利樹要求所有葉子節點均為匹配點，因此這不是一棵匈牙利樹。如果原圖中根本不含 7 號節點，那麼從 2 號節點出發就會得到一棵匈牙利樹。這種情況如圖 9 所示（順便說一句，圖 8 中根節點 2 到非匹配葉子節點 7 顯然是一條增廣路，沿這條增廣路擴充後將得到一個完美匹配）。

下面給出匈牙利演算法的 DFS 和 BFS 版本的程式碼：

// 頂點、邊的編號均從 0 開始
// 鄰接表儲存

struct Edge
{
    int from;
    int to;
    int weight;

    Edge(int f, int t, int w):from(f), to(t), weight(w) {}
};

vector<int> G[__maxNodes]; /* G[i] 儲存頂點 i 出發的邊的編號 */
vector<Edge> edges;
typedef vector<int>::iterator iterator_t;
int num_nodes;
int num_left;
int num_right;
int num_edges;

int matching[__maxNodes]; /* 儲存求解結果 */
int check[__maxNodes];

bool dfs(int u)
{
    for (iterator_t i = G[u].begin(); i != G[u].end(); ++i) { // 對 u 的每個鄰接點
        int v = edges[*i].to;
        if (!check[v]) {     // 要求不在交替路中
            check[v] = true; // 放入交替路
            if (matching[v] == -1 || dfs(matching[v])) {
                // 如果是未蓋點，說明交替路為增廣路，則交換路徑，並返回成功
                matching[v] = u;
                matching[u] = v;
                return true;
            }
        }
    }
    return false; // 不存在增廣路，返回失敗
}

int hungarian()
{
    int ans = 0;
    memset(matching, -1, sizeof(matching));
    for (int u=0; u < num_left; ++u) {
        if (matching[u] == -1) {
            memset(check, 0, sizeof(check));
            if (dfs(u))
                ++ans;
        }
    }
    return ans;
}

queue<int> Q;
int prev[__maxNodes];
int Hungarian()
{
    int ans = 0;
    memset(matching, -1, sizeof(matching));
    memset(check, -1, sizeof(check));
    for (int i=0; i<num_left; ++i) {
        if (matching[i] == -1) {
            while (!Q.empty()) Q.pop();
            Q.push(i);
            prev[i] = -1; // 設 i 為路徑起點
            bool flag = false; // 尚未找到增廣路
            while (!Q.empty() && !flag) {
                int u = Q.front();
                for (iterator_t ix = G[u].begin(); ix != G[u].end() && !flag; ++ix) {
                    int v = edges[*ix].to;
                    if (check[v] != i) {
                        check[v] = i;
                        Q.push(matching[v]);
                        if (matching[v] >= 0) { // 此點為匹配點
                            prev[matching[v]] = u;
                        } else { // 找到未匹配點，交替路變為增廣路
                            flag = true;
                            int d=u, e=v;
                            while (d != -1) {
                                int t = matching[d];
                                matching[d] = e;
                                matching[e] = d;
                                d = prev[d];
                                e = t;
                            }
                        }
                    }
                }
                Q.pop();
            }
            if (matching[i] != -1) ++ans;
        }
    }
    return ans;
}

匈牙利演算法的要點如下

從左邊第 1 個頂點開始，挑選未匹配點進行搜尋，尋找增廣路。

1. 如果經過一個未匹配點，說明尋找成功。更新路徑資訊，匹配邊數 +1，停止搜尋。
2. 如果一直沒有找到增廣路，則不再從這個點開始搜尋。事實上，此時搜尋後會形成一棵匈牙利樹。我們可以永久性地把它從圖中刪去，而不影響結果。

由於找到增廣路之後需要沿著路徑更新匹配，所以我們需要一個結構來記錄路徑上的點。DFS 版本通過函式呼叫隱式地使用一個棧，而 BFS 版本使用 prev 陣列。

效能比較

兩個版本的時間複雜度均為 O(V⋅E) 。DFS 的優點是思路清晰、程式碼量少，但是效能不如 BFS。我測試了兩種演算法的效能。對於稀疏圖，BFS 版本明顯快於 DFS 版本；而對於稠密圖兩者則不相上下。在完全隨機資料 9000 個頂點 4,0000 條邊時前者領先後者大約 97.6%，9000 個頂點 100,0000 條邊時前者領先後者 8.6%, 而達到 500,0000 條邊時 BFS 僅領先 0.85%。

補充定義和定理：

最大匹配數：最大匹配的匹配邊的數目
最小點覆蓋數：選取最少的點，使任意一條邊至少有一個端點被選擇
最大獨立數：選取最多的點，使任意所選兩點均不相連
最小路徑覆蓋數：對於一個 DAG（有向無環圖），選取最少條路徑，使得每個頂點屬於且僅屬於一條路徑。路徑長可以為 0（即單個點）。

定理1：最大匹配數 = 最小點覆蓋數（這是 Konig 定理）
定理2：最大匹配數 = 最大獨立數
定理3：最小路徑覆蓋數 = 頂點數 – 最大匹配數