累加器傳遞模式(Accumulator passing style)
尾遞迴優化在於使堆疊可以不用儲存上一次的返回地址/狀態值，從而把遞迴函式當成一個普通的函式呼叫。
遞迴實際上是依賴上次的值，去求下次的值。 如果我們能把上次的值儲存起來，在下次呼叫時傳入，而不直接引用函式返回的值。 從而使堆疊釋放，也就達到了尾遞迴優化的目的。
下面我們增加了一個acc的引數，它儲存上次的值，在下次呼叫時傳入。
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static int Accumulate(int acc, int n) { if (n == 0) return acc; return accumulate(acc * n, n - 1); } |
使用時Accumulate遞迴時，我們僅需要使用最後一次的返回值即可。 呼叫如下：
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1 |
var ac = Accumulate(1, 20); |
使用Lambda表示式實現尾遞迴階乘：
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static int AccumulateByLambda(int x) { Func<int, int, int> accumulate = null; accumulate = (acc, n) => n == 0 ? acc : Accumulate(acc * n, n - 1); return accumulate(1, x); } |
CPS函式
CPS全稱Continuation passing style，中文一般譯為後繼傳遞模式。
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static int Times3(int x) { return x * 3; } Console.WriteLine(Times3(5)); |
上面函式將輸入值乘以3，我們平常基本上都會這樣寫。 其實我們還可以用返回函式的C#語法，構造巢狀方式，把函式的呼叫變成呼叫鏈times3(3)(5)。
這種方式在數學上或函數語言程式設計中是比較直觀的，正常的，但在指令式語言c#中卻不是那麼直觀。
CPS中的後繼(Continuation)一詞指的是計算的剩餘部分，類似times3(3)(5)紅色這部分。
例如：表示式a*(b+c)的運算過程有多個計算步驟。可以c#寫成下面函式來表示：
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1 |
Console.WriteLine(Mult(a,Add(b,c))) |
操作步驟如下：
- b與c相加。
- 將結果乘以a。
- 輸出結果。
執行1步時，後續操作是2,3。執行2步時，後續操作是3。 使用CPS模式來改造下times3函式：
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static void Times3CPS(int x, Action<int> continuation) { continuation(x * 3); } Times3CPS(5, (reslut) => Console.WriteLine(result)); |
我們增加了一個表示後繼操作3的函式引數，呼叫時傳遞後續操作，這就是CPS函式。
CPS變換
知道了CPS函式後，再詳細看下CPS變換。
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Console.WriteLine(Times3(5)); //CPS變換 Times3CPS(5, (reslut) => Console.WriteLine(result)); |
上面times3函式從直接調，到使用”後繼傳遞操作”的過程就叫做CPS轉換。
例如1：MAX函式的轉換
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static int Max(int n, int m) { if (n > m) return n; else return m; } Console.WriteLine(Max(3, 4)); |
我們把這max函式轉換成CPS模式，需要下列步驟：
1：返回值修改成void
2：新增一個額外的型別引數 Action，T是原始返回型別。
3：使用後續操作表示式引數替代原來所有返回宣告。
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static void Max(int n, int m, Action<int> k) { if (n > m) k(n); else k(m); } Max(3, 4, x => Console.WriteLine(x)); |
例如2：假如有3個函式Main、F、G，Main呼叫F、F呼叫G。
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Console.WriteLine(F(1) + 1); static int F(int n) { return G(n + 1) + 1; } static int G(int n) { return n + 1; } |
我們把F和G轉換成CPS風格，和Max函式同樣的轉換步驟：
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F(1, x => Console.WriteLine(x + 1)); static void F(int n, Action<int> k) { G(n + 1, x => k(x + 1)); } static void G(int n, Action<int> k) { k(n + 1); } |
CPS尾遞迴
這是傳統的遞迴階乘：
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static int Factorial(int n) { if (n == 0) return 1; else return n * Factorial(n - 1); } |
使用同樣的步驟，把遞迴轉換成CPS尾遞迴:
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Factorial(5, x => Console.WriteLine(x)); static void Factorial(int n, Action<int> continuation) { if (n == 0) continuation(1); else Factorial(n - 1, x => continuation(n * x)); } |
“計算n的階乘，並將結果傳入continuation方法並返回”，也就是“計算n – 1的階乘，並將結果與n相乘，再呼叫continuation方法”。為了實現“並將結果與n相乘，再呼叫continuation方法”這個邏輯，程式碼又構造了一個匿名方法，再次傳入Factorial方法。
總結
CPS模式是非常強大的，在很多方面都有使用，比如在編譯器實現中CPS風格的解析器組合子、函式完成後回撥。也可以說是把程式內部原本的控制操作，用CPS方法抽取出來暴露給程式設計師，例如文中的例子。
參考資料
http://blogs.msdn.com/b/wesdyer/archive/2007/12/22/continuation-passing-style.aspx