一點無關緊要的題外話
這部分的內容個人感覺與後續內容的關聯性沒有那麼大，且比較抽象（反正我很暈），所以就簡單看看就行吧。
玻爾茲曼分佈律
玻爾茲曼能量分佈定律是一個統計規律，它表明氣體分子幹能量有一確定分佈。
假設在能量區間 \(\varepsilon_i \sim \varepsilon_i+\Delta\varepsilon\) 內的分子數為 \(N_i\) ，而總分子數為 \(N\) ，則 \(\frac{N_i}{N}\) 代表氣體分子的能量介於上述能量區間內的機率 \(w\) 。根據玻爾茲曼分佈律有
\[w=\frac{N_i}{N}\propto e^{-\varepsilon_i/(kT)}
\]
應用玻爾茲曼分佈律驗證大氣壓強的例子懶得寫了。感興趣自查吧。
現在來計算平衡態下分子按狀態的機率分佈：
假定狀態區間為 \(v_x\sim v_x+dv_x,v_y\sim v_y+dv_y,v_z\sim v_z+dv_z,x\sim x+dx,y\sim y+dy,z\sim z+dz\)
根據玻爾茲曼分佈律有
\[w=\frac{N_{ix}}{N}\propto e^{-\varepsilon_i/(kT)}dv_xdv_ydv_zdxdydz\\
\begin{aligned}
\because\varepsilon_i &= \frac 12 m v_i^2\\
&= \frac{m(v_{ix}^2+v_{iy}^2+v_{iz}^2)}{2}\\
\therefore w&=Ae^{-m(v_{x}^2+v_{y}^2+v_{z}^2)/(2kT)}dv_xdv_ydv_zdxdydz
\end{aligned}
\]
其中 \(A\) 是正比關係的比例係數，確定 \(A\) 的大小可以透過歸一化條件，總機率為1來倒推，即
\[A\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-m(v_{x}^2+v_{y}^2+v_{z}^2)/(2kT)}dv_xdv_ydv_zdxdydz=1
\]
推導過程
這是一個六重積分，但是沒什麼影響，可以先把後三項 \(dxdydz\) 直接拆成三個簡單積分，這部分的積分結果就是 \(V\) 。
剩下的部分是一個三重積分，觀察到化為極座標表示較為方便，因此有
\[\iiint_{-\infty}^{+\infty}e^{-m(v_{x}^2+v_{y}^2+v_{z}^2)/(2kT)}dv_xdv_ydv_z
\]
取
\[\begin{cases}
&v_x = r\sin \varphi \cos \theta\\
&v_y = r\sin \varphi \sin \theta\\
&v_x = r\cos \varphi \\
\end{cases}
\]
滿足 \(0\le r<+\infty , 0\le \varphi \le \pi,0\le\theta\le 2\pi\)
則有
\[J(r,\varphi,\theta) = r^2\sin \varphi\\
\begin{aligned}
&\iiint_{-\infty}^{+\infty}e^{-m(v_{x}^2+v_{y}^2+v_{z}^2)/(2kT)}dv_xdv_ydv_z\\
&=\int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\pi}e^{-mr^2/(2kT)}r^2\sin \varphi dr d\varphi d\theta\\
&=\int_{0}^{+\infty} e^{-mr^2/(2kT)}r^2 dr \cdot \int_0^{\pi}\sin\varphi d\varphi \cdot \int_0^{2\pi}d\theta\\
&=4\pi\int_{0}^{+\infty} e^{-mr^2/(2kT)}r^2 dr
\end{aligned}
\]
後面這坨又是上一集喜聞樂見的gamma函式。
類似地可以求出
\[\int_{0}^{+\infty} e^{-mr^2/(2kT)}r^2 dr = \frac{\sqrt{k^3T^3\pi}}{\sqrt{2m^3}}
\]
所以原歸一化條件方程可以化為
\[\begin{aligned}
&A\cdot 4\pi \cdot \frac{\sqrt{k^3T^3\pi}}{\sqrt{2m^3}} \cdot V = 1\\
&A \cdot (\frac {2\pi kT}m)^{\frac 32}\cdot V=1\\
&A =\frac 1V(\frac m{2\pi kT})^{\frac 32}
\end{aligned}
\]
積分結果倒推可得
$$
A =\frac 1V(\frac m{2\pi kT})^{\frac 32}
$$
其中， $V$ 是系統體積。
於是，理想氣體在平衡態下分子按狀態的機率分佈可寫為
$$
w=\frac{dN_{\vec r,\vec v}}{N} = \frac 1V(\frac m{2\pi kT})^{\frac 32}e^{-m(v_{x}^2+v_{y}^2+v_{z}^2)/(2kT)}dv_xdv_ydv_zdxdydz
$$
理想氣體的麥克斯韋速度分佈函式
不考慮空間位置而只考慮運動狀態（即速度）的分佈，這樣得到的分佈規律就成為麥克斯韋速度分佈律。將上式（剛才推導的 \(w\) ）對系統佔有的總體積積分，得
\[\frac{dN_{\vec v}}{N} = (\frac m{2\pi kT})^{\frac 32}e^{-m(v_{x}^2+v_{y}^2+v_{z}^2)/(2kT)}dv_xdv_ydv_z
\]
式中，
\[f(\vec v)=(\frac m{2\pi kT})^{\frac 32}e^{-m(v_{x}^2+v_{y}^2+v_{z}^2)/(2kT)}
\]
稱為麥克斯韋速度分佈函式。
想由麥克斯韋速度分佈函式推麥克斯韋速率分佈函式，顯然，各個方向都是等價的，所以麥克斯韋速度分佈函式的值大小一定只與速率有關，所以這裡一定能把速度分佈律化為速率分佈律（我在說什麼）。要將 \(dv_xdv_ydv_z\) 轉化為 \(dv\) ，從幾何意義上來看就是要把同速率的分子歸併為一類。顯然，同速率分子的速度向量端點拼在一起在三維座標系中就是一個半徑為速率 \(v\) 的球殼。所以可以得出 \(dv_xdv_ydv_z=4\pi v^2dv\) 。因此可以得出麥克斯韋速率分佈律為
\[\frac{dN_v}{N} = 4\pi v^2(\frac m{2\pi kT})^{\frac 32}e^{-m(v_{x}^2+v_{y}^2+v_{z}^2)/(2kT)}dv
\]
其實再看這個 \(4\pi v^2dv\) ，它其實與推導過程中用到的極座標變換是異曲同工。我想或許這種看作“球殼”的方式會好理解的多，所以說尋找更巧妙的解法總是非常有意義的，對吧。
運輸現象相關真看不懂，先摸了。