訊號與系統

1. 連續時間和離散時間訊號

1.1. 連續時間和離散時間訊號的定義

連續時間訊號的自變數是連續可變的，訊號在自變數的連續值上都有定義；而離散時間訊號的自變數僅僅定義在離散時刻點上，也就是自變數僅取在一組離散值上。

為了區分這兩類訊號，我們用 $t$ 表示連續時間變數，而用 $n$ 表示離散時間變數。連續時間訊號表示為 $x(t)$，離散時間訊號表示為 $x[n]$。

1.2. 訊號的能量和功率

連續時間訊號在 $t_1 \leqslant t \leqslant t_2$ 內的總能量定義為：
$\int_{t_1}^{t_2} |x(t) |^2 dt$
而平均功率即為總能量在區間內的平均值。

相類似，離散時間訊號在 $n_1 \leqslant n \leqslant n_2$ 內的總能量定義為：
$\sum_{n=n_1}^{n_2} |x[n] |^2$

此外，我們還可以將其擴充套件到無窮空間內，針對連續時間訊號，其能量和功率有：

$E_{\infty} \triangleq \lim_{T \to {\infty}} \int_{-T}^{T} |x(t) |^2 dt = \int_{-\infty}^{\infty} |x(t) |^2 dt$
$P_{\infty} \triangleq \lim_{T \to {\infty}} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} |x(t) |^2 dt$

2. 自變數的變換

2.1. 自變數變換舉例

• 時移 對訊號在 X 軸方向平移
  

• 時間反轉 對訊號沿 Y 軸方向反折
  

• 尺度變換 對訊號在 X 軸方向進行放縮

2.2. 週期訊號

一個週期連續訊號 $x(t)$ 具有這樣的性質，即存在一個正值的 $T$，滿足：
$x(t) = x(t+T)$
換句話說，當一個連續訊號時移 $T$ 後其值不變，這時候 $x(t)$ 就是一個週期訊號。

如果一個離散訊號時移 $N$ 後其值不變，這時候 $x[n]$ 就是一個週期訊號。
$x[n] = x[n+N]$

2.3. 偶訊號和奇訊號

如果一個訊號以原點為軸反轉後不變，就稱為偶訊號。
$x(-t) = x(t)$
$x[-n] = x[n]$
如果有
$x(-t) = -x(t)$
$x[-n] = -x[n]$
就稱該訊號為奇訊號。

任何訊號都能分解為兩個訊號之和，其中之一為偶訊號，另一個為奇訊號。

3. 指數訊號和正弦訊號

3.1. 連續時間復指數訊號和正弦訊號

連續時間復指數訊號具有以下的形式：
$x(t) = Ce^{at}$
其中 $C$ 和 $a$ 一般為複數，根據這些引數值的不同，復指數訊號可有幾種不同的特徵。

• 實指數訊號
  此時 $C$ 和 $a$ 都為實數。若 $a$ 為正實數，則 $x(t)$ 隨 $t$ 的增加而指數增長;若 $a$ 為負實數，則 $x(t)$ 隨 $t$ 的增加而指數衰減。
  

• 週期復指數訊號和正弦訊號

若 $a$ 為純虛數，特別是考慮如下訊號：

$x(t) = e^{j \omega_0 t}$

該訊號的一個重要性質是它是週期訊號。如果存在一個 $T$ 使下式成立，則 $x(t)$ 就是週期的。

$e^{j \omega_0 t} = e^{j \omega_0 (t + T)} = e^{j \omega_0 t} * e^{j \omega_0 T}$

即 $e^{j \omega_0 t} = 1$。若 $\omega_0 = 0, x(t) = 1$，這時對任何 $T$ 值都是週期的；若 $\omega_0 \not = 0 $，那麼基波週期 $T_0$ 為:
$T_0 = \frac{2 \pi }{|\omega_0|}$

和週期復指數訊號密切相關的一種訊號是正弦訊號，正弦訊號也是週期訊號。

$x(t) = Acos(\omega_0t + \phi)$

利用尤拉公式可以將復指數訊號表示為與其有著相同基波週期的正弦訊號，而正弦訊號也能用相同基波週期的復指數訊號來表示。

$e^{j \omega_0 t} = cos\omega_0t + j* sin\omega_0t$

• 一般復指數訊號

最一般情況下的復指數訊號可以藉助實指數訊號和週期復指數訊號來給予表示和說明。考慮某一復指數 $Ce^{at}$，將 $C$ 用極座標表示，$a$ 用直角座標表示，分別有：
$C = |C| e^{j\theta}$
$a = r + j \omega_0$
$Ce^{at} = |C| e^{j\theta} *e^{(r + j \omega_0)t} = |C| e^{rt} *e^{ j (\omega_0t + \theta)} = |C| e^{rt} cos(\omega_0t + \theta) + j |C| e^{rt} sin(\omega_0t + \theta)$

若 $r=0$，則復指數訊號的實部和虛部都是正弦型的；而對 $r>0$，其實部和虛部則是一個振幅為指數增長的正弦訊號；$r<0$為振幅指數衰減的正弦訊號。

3.2. 離散時間復指數訊號和正弦訊號

離散時間復指數訊號具有以下的形式：
$x[n] = Ca^n$
其中 $C$ 和 $a$ 一般為復指數。

• 實指數訊號
  此時 $C$ 和 $a$ 都為實數，那麼就會有如下的幾種特性。
  若 $|a|>1$，訊號隨 $n$ 指數增長；$|a|<1$，則隨 $n$ 指數衰減。
  若 $a$ 為正，訊號全部值具有同一符號；而當 $a$ 為負時，訊號值的符號交替變化。
  

• 正弦訊號

$x[n] = e^{j \omega_0 n} = cos\omega_0n + j* sin\omega_0n$

• 一般復指數訊號
  將 $C$ 和 $a$ 均以極座標表示，分別有：
  $C = |C| e^{j\theta}$
  $a = |a| e^{j\omega_0}$
  $Ca^{n} = |C| |a|^n cos(\omega_0n + \theta) + j |C| |a|^n sin(\omega_0n + \theta)$

若 $|a|=1$，復指數序列的實部和虛部都是正弦序列；而對 $|a|>1$，其實部和虛部為正弦序列乘以一個指數增長的序列；$|a|<1$乘以一個指數衰減的序列。

3.3. 離散時間復指數序列的週期性質

$e^{j(\omega_0+2 \pi) n} = e^{j\omega_0n} * e^{j2 \pi n} = e^{j\omega_0n}$

這說明離散時間復指數訊號在頻率 $\omega_0+2 \pi$ 和 $\omega_0$ 時是完全一樣的。

為了使訊號 $e^{j \omega_0 n}$ 是週期的，週期為 $N > 0$，就必須有：
$e^{j\omega_0(n+N)} = e^{j\omega_0n} * e^{j\omega_0N} = e^{j\omega_0n}$
這就等效於要求 $e^{j\omega_0N} = 1$，那麼 $\omega_0N$ 必須為 $2\pi$ 的整數倍，也就是說存在一個整數 $m$，使得
$\omega_0N = 2\pi m$

4. 單位衝激和單位階躍函式

4.1. 離散時間單位脈衝和單位階躍序列

最簡單的離散時間訊號之一就是單位脈衝或者單位樣本，定義為：
$\delta[n] = \begin{cases} 0，&\text n\not =0 \\ 1， &\text n = 0 \end{cases}$

第二個簡單的離散時間訊號是離散時間單位階躍，定義為：
$u[n] = \begin{cases} 0，&\text n<0 \\ 1， &\text n \geqslant 0 \end{cases}$

離散時間單位脈衝是離散時間單位階躍的一次差分，即
$\delta[n] = u[n] - u[n-1]$

相反，離散時間單位階躍是離散時間單位脈衝的求和函式，即
$u[n] = \sum_{m=- \infty }^n \delta[m]$

單位脈衝序列可以用於一個訊號在 $n=0$ 時的值的取樣，因為 $\delta[n]$僅在 $n=0$ 為非零值，所以有：
$x[n]\delta[n] = x[0]\delta[n]$
若考慮在 $n=n_0$ 的單位脈衝 $\delta[n-n_0]$ ，那麼就有
$x[n]\delta[n-n_0] = x[n_0]\delta[n-n_0]$

4.2. 連續時間單位階躍和單位衝激函式

與離散時間情況相類似，連續時間單位階躍函式*定義為：
$u(t) = \begin{cases} 0，&\text t<0 \\ 1， &\text t > 0 \end{cases}$

值得注意的是，單位階躍 在 $t=0$ 這一點是不連續的。

連續時間單位衝激函式與單位階躍函式的關係也和離散時間單位脈衝與單位階躍函式之間的關係想類似，即連續時間單位階躍是單位衝激的積分函式：
$u(t) = \int_{- \infty }^t \delta(\tau) d\tau$
連續時間單位衝激能夠看作連續時間單位階躍的一次微分：
$\delta(t) = \frac{du(t)}{dt}$
但因為單位階躍在 $t=0$ 這一點是不連續的，因此上面的定義是不準確的。然而，我們可以考慮一個近似訊號 $u_{\Delta}(t)$，$u_{\Delta}(t)$ 從 0 升到 1 是在一個較短的時間間隔 $\Delta$ 內完成的，當 $\Delta$ 足夠小的時候對實際問題也就無關緊要了。

正規地說，$u(t)$ 是當 $\Delta \to 0$ 時 $u_{\Delta}(t)$的極限，現在我們再來看這個導數：
$\delta_{\Delta}(t) = \frac{du_{\Delta}(t)}{dt}$
$\delta_{\Delta}(t)$ 是一個持續期為 $\Delta$ 的短脈衝，而且對於任何 $\Delta$ 值，其面積都為 1。

隨著 $\Delta \to 0$，$\delta_{\Delta}(t)$ 變得越來越窄，愈來愈高，但始終保持單位面積，它的極限形式為：
$\delta(t) = \lim_{\Delta \to 0}\delta_{\Delta}(t)$

就能看作 $\Delta$ 變成無窮小後，短脈衝 $\delta_{\Delta}(t)$ 的一種理想化的結果。

5. 系統的基本性質

• 記憶系統和無記憶系統
  如果對自變數的每一個值，一個系統的輸出僅僅取決於該時刻的輸入，這個系統就稱為無記憶系統。

• 可逆性與可逆系統系統
  一個系統如果在不同的輸入下，導致不同的輸出，就成該系統是可逆的。

• 因果性
  如果一個系統在任何時刻的輸出只決定於現在的輸入以及過去的輸入，該系統就稱為因果系統。

• 穩定性
  一個穩定系統，如果其輸入是有界的，即輸入的幅度不是無界增長的，則系統的輸出也必須是有界的，因此不可能發散。

• 時不變性
  從概念上將，若系統的特性行為不隨時間而變，該系統就是時不變的。也就是，如果在輸入訊號上有一個時移，那麼輸出訊號中就會產生一個同樣的時移。

• 線性
  線性系統具有一個很重要的性質就是疊加性質，即：如果某一個輸入是由幾個訊號的加權組成的話，那麼輸出也就是系統對這組訊號中每一個的響應的加權和。假設 $y_1(t)$ 是一個連續時間系統對 $x_1(t)$ 的響應，而 $y_2(t)$ 是一個連續時間系統對 $x_2(t)$ 的響應，那麼一個線性系統就應該有：

  $y_1(t) + y_2(t)$ 是對 $ x_1(t) + x_2(t)$ 的響應；
  $ay_1(t)$ 是對 $ ax_1(t)$ 的響應，此處 $a$ 為任意復常數。

  上面的第一個性質稱為可加性，第二個特性則稱之為比例性或者齊次性。
  線性系統的零輸入響應為零，這也可以作為判斷系統是否為線性系統的一個標準。

獲取更多精彩，請關注「seniusen」!