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量子糾纏是量子計算的核心資源。將糾纏整合到量子機器學習（QML）模型的測量中，導致訓練資料大小大幅減少，超過指定的預測誤差閾值。然而，對資料糾纏度如何影響模型效能的分析理解仍然難以捉摸。

在此，來自武漢大學、北京大學、南洋理工大學和悉尼大學的研究團隊，透過建立量子「沒有免費的午餐」 (no-free-lunch，NFL) 定理來解決這一知識差距。

與之前的發現相反，研究證明糾纏資料對預測誤差的影響表現出雙重效應，具體取決於允許的測量數量。透過足夠數量的測量，增加訓練資料的糾纏可以一致地減少預測誤差，或減小實現相同預測誤差所需的訓練資料大小。相反，當允許的測量很少時，使用高度糾纏的資料可能會導致預測誤差增加。

該研究為設計先進的 QML 協議提供了重要指導，特別是對於那些專為在有限訪問量子資源的早期量子計算機上執行而定製的協議。

相關研究以《Transition role of entangled data in quantum machine learning》為題，於 5 月 2 日釋出在《Nature Communications》上。

論文連結：https://www.nature.com/articles/s41467-024-47983-1

量子糾纏與 NFL 定理

量子糾纏是量子領域的一個非凡特徵，它使量子計算機超越了傳統計算機。在過去的十年中，各種利用糾纏的量子演算法被設計用來推進密碼學和最佳化，與傳統方法相比，提供執行時加速。

在量子計算機的卓越能力和機器學習取得的驚人成功的推動下，一個被稱為量子機器學習 (QML) 的新興前沿領域出現，尋求在特定學習中超越經典模型。該領域已經取得了實質性進展。

機器學習中表徵與資料集相關的學習模型能力的一個基本概念是「沒有免費的午餐」 (no-free-lunch，NFL) 定理。NFL 定理得出了一個重要的見解：無論採用何種最佳化策略，模型的最終效能都取決於訓練資料的大小和型別。

基於先前關於糾纏作用和經典 NFL 定理的發現，一個合理的推測是，高糾纏資料有助於提高 QML 模型的效能，並降低樣本複雜性，儘管代價是使用大量量子資源來準備資料。這在量子計算的早期階段可能是無法承受的。

糾纏資料對預測誤差具有雙重影響

在該研究中，研究人員否定了上述推測，並展示了當 QML 模型非相干學習量子動力學時糾纏資料的過渡作用，如圖 1 所示。

在非相干學習場景中，量子學習器僅限於利用具有不同糾纏程度的資料集對未知 unitary 進行操作，並使用在投影測量下收集的有限測量結果來推斷其動態，這與參考文獻在學習問題和訓練資料方面的情況不同。

糾纏資料是指與參考系統糾纏的量子態，糾纏程度用 Schmidt rank（r）定量表徵。經過嚴格證明，在 NFL 的背景下，根據允許的測量數量 m，糾纏資料對預測誤差具有雙重影響。

研究人員進行數值模擬來展示糾纏資料的過渡作用、測量數量的影響以及訓練資料大小（N）在確定預測誤差中的作用。

模擬結果如圖 2 所示。從 圖 2b 可以看出，對於 N = 2 和 N = 8，當測量數足夠大，即 m > 1000 時，預測誤差隨著測量數 m 的增加和 r 的增加而不斷減小。另一方面，對於 N = 8 情況下 m ≤ 100 的少量測量，隨著 r 的不斷增加，平均預測誤差在超過臨界點（m = 10 時 r = 3, m = 100 時 r = 4）後先減小後增大。即糾纏資料在確定有限次測量的預測誤差方面起過渡作用。

對於不同大小的訓練資料，這一觀察結果也在圖 2b 中得到了驗證，其中對於較小的測量時間 m = 10，增加 r 對於降低預測誤差沒有幫助。相比之下，較大的訓練資料量始終會導致較小的預測誤差。

研究結果引發了一些需要進一步研究的重要方向。第一個研究方向是探索糾纏資料的過渡作用是否存在於其他 QML 任務中。

另一個研究方向是在透過使用輔助量子系統來利用量子動力學和測量中的糾纏時，是否存在類似的過渡作用。

注：封面來自網路