讀天才與演算法：人腦與AI的數學思維筆記20_數學圖靈測試

1. 數學圖靈測試

1.1. 能不能將這種計算機證明語言翻譯成易於與人交流的方式呢？

1.1.1. 劍橋大學的兩位數學家蒂莫西·高爾斯（Timothy Gowers）和莫漢·加內薩林加姆（Mohan Ganesalingam）開展了此項研究

1.1.1.1. 他們決定一起組建團隊，建立一個能夠生成人類直接能讀得懂的計算機證明

1.1.2. 1998年，高爾斯成為菲爾茨獎獲得者並登上新聞頭條，同年被聘為勞斯·鮑爾（Rouse Ball）講席教授

1.1.3. 莫漢·加內薩林加姆（Mohan Ganesalingam）

1.1.3.1. 在劍橋大學三一學院學習數學，以第一名的成績拿到劍橋大學的數學專業學位，並獲得資深蘭格勒頭銜（Senior Wrangler），這是劍橋數學學子的最高榮譽

1.1.3.2. 改行學英語，又以劍橋大學英語學院最佳成績畢業，獲得了盎格魯–撒克遜英語（Anglo-Saxon English）碩士學位

1.1.3.3. 繼續攻讀電腦科學博士學位，從形式語言學角度對數學語言進行分析

1.2. 本科一年級《度量空間》課程裡面的5個定理，每個定理包括3個不同的證明，分別由博士生、本科生和計算機演算法完成

1.2.1. 其目的是想了解在沒有任何提示的情況下，是否有人會懷疑這些證明不全是由人類完成的

1.2.2. 透過對投票結果的統計分析，大約有50%的讀者識別出了由計算機演算法生成的證明，但其中只有半數人確信自己的判斷是正確的

1.2.3. 那些確信不是計算機證明而實際是計算機證明的投票佔比也不容忽視

1.2.4. 那些來自本科生的證明往往被誤認為是計算機的證明

1.3. 計算機在處理證明中那些煩冗、瑣碎環節時的能力越來越強，人機互動越來越少，這留給我們更多的時間和精力去自由地思考更“有趣”的環節

1.3.1. 在計算機最終取代人類工作這一歷史發展程序中我看不到任何實質性的障礙，這可能會讓人感到難過

1.3.2. 但實現這一目標的過程卻讓人憧憬和興奮

2. 數學寓言

2.1. 素數又稱質數，是一個大於1的自然數，且除了1和它本身外，不能被其他自然數整除

2.2. 素數就像一座座山峰，重巒疊嶂，綿延不絕

2.2.1. 後輩數學家們肩負的任務就是尋找一條從熟知的領域出發，通向這片未知新世界的道路

2.3. 證明是一場“按圖索驥”的旅程，地圖上標定了穿越的路徑

2.3.1. 成功的證明是一組路標，指引所有後輩數學家走完相同的旅程

2.3.2. 證明的讀者們將透過地圖所指的道路抵達遙不可及的高峰，體會到和作者一樣的驚喜和感動

2.3.3. 很多時候，證明不是尋找i和t的交點，就像故事不會呈現某角色的每個生活細節

2.3.3.1. 它是對整個旅程的描述，而不是具體步驟的重現

2.3.4. 數學家提供的論據旨在引導讀者的思想。

2.4. 結尾即是故事的開始，倒敘是數學故事最特別的地方

2.4.1. 問題在於故事情節如何設計才能從當前背景到達這一高潮

2.5. 反證法是數學家工具箱中常用的敘事工具，就像《愛麗絲夢遊仙境》或《綠野仙蹤》一樣，想象出一個完全相反的世界，並試圖證明這個世界是真實的，直到故事以一個荒謬的結局告終

2.5.1. 任何有限的素數列表都會丟失一些素數，因此，素數的個數必須是無窮的

2.5.2. “素數有無窮多個”定理的證明

2.5.2.1. 假設素數只有有限的n個，其中最大的素數是p

2.5.2.2. 設q為所有素數之積加上1，即q=（2×3×5×…×p）+1，則q不為素數

2.5.2.3. 那麼，q就可以被2、3、…p中的某一個數整除

2.5.2.4. 根據公式，q被2、3、…p中任意一個數整除後又會餘1，與前結論相互矛盾

2.5.2.5. 由此可證明，素數個數是無限的

2.6. 數學家喜歡在證明的結尾寫一個QED的標記，其源自拉丁語quod erat demonstrandum（意為“這被證明了”）的縮寫

2.6.1. 數學證明最重要的不是追求“證明完畢”，也不是得到的最終結果，而是整個證明的過程，即通向目的地的旅程，這就像音樂的全部並不是最後的一個和絃一樣

2.7. “令人驚訝”是數學的重要特質

2.7.1. 數學家的藝術不只是創造出新的東西，還包括講述一個令人驚訝的故事

2.7.2. 尋找橢圓曲線的解是數學領域最棘手的問題之一

2.7.2.1. 詳細陳述了數學世界的這兩個截然不同的領域是如何關聯的

2.7.3. 費馬發現的關於某些型別的素數具有的一個奇特性質：如果一個素數除以4後所得餘數為1，那麼該素數等於某兩個數字的平方和

2.7.3.1. 素數與平方這兩個不相關的概念建立聯絡、融為一體，獲得了巨大的滿足感

3. 羅蘭·巴特（Roland Barthes）提出的五種關鍵敘事程式碼

3.1. 闡釋程式碼

3.1.1. 也稱為“謎的程式碼”，指的是類似於偵探小說中具有設謎和解謎功能的句段

3.1.2. 只要文字中有需要揭示的真相、需要澄清的謎團，那麼這個文字就含有闡釋程式碼

3.1.3. “真相的聲音”

3.2. 行動程式碼

3.2.1. 一系列動作的累積製造出懸念，而動作本身又隱含了下一步的敘事動作

3.3. 語義程式碼

3.4. 符號程式碼

3.5. 文化程式碼

3.6. 均圍繞一個設計意圖展開，即故事中的某些思想會與故事之外的事物產生共鳴，從而賦予其更多的意義

3.6.1. 這三者都是構建數學證明的重要工具，發掘讀者已有的知識以獲得證明的預期效果

4. 數學的敘述藝術

4.1. “懸念”這一特性是數學證明故事中經典的敘事工具

4.1.1. 這種敘事方法被稱為闡釋程式碼，是羅蘭·巴特（Roland Barthes）提出的五種關鍵敘事程式碼之一

4.2. 是未解之謎（或未答之題）給出令人滿意的數學證明的核心方法

4.2.1. 當我們研究數學時，能給我們帶來愉悅的就是那種想要解開謎團的渴望

4.2.2. 從這個意義上說，數學證明與一部精彩的偵探小說有很多共同之處

4.3. 數學證明都是從故事的結局開始

4.3.1. 科幻動作或謀殺懸疑題材的作品也有類似的劇情設定

4.4. 除了開場環節透過未解的問題製造的緊張感之外，數學故事的另一個敘事驅動力源自證明展開時的內在行動，它是透過故事情節的延續推動敘事邏輯沿著時間軸向前發展的動力

4.5. 有時候證明需要在大量歷史知識或觀點的“觸發”下推進

4.5.1. 如果利用不好這些觸發條件，就會大幅降低證明的效率

4.6. 故事的總體敘事也被稱為故事的原型或者主線

4.6.1. 文學理論家們把各種故事原型進行歸納和總結，最終確定了七種不同的敘事型別，比如灰姑娘型故事、探險型故事、戰爭型故事等

4.7. 數學家識別出某些證明原型，並引用其方法來幫助讀者

4.7.1. 證明方法有反證法、歸納法、機率分析法，等等

4.8. 張力本意是讓水滴圓潤凝聚而不分散的力量

4.8.1. 若某首詩具有張力，說明這首詩全篇對中心觀點的凝聚感十分強烈

4.9. 好的數學有一種張力，其證明既不會很複雜也不會很簡單

4.9.1. 完美的證明有其必然性，但每一步都無法提前預測

4.9.2. 追求秩序和安全的結果可能導致單調乏味和千篇一律，但為了創新和改變而不顧秩序，則會帶來危險和不確定性

4.9.2.1. 文化的歷史可以被詮釋為在追求秩序和避免乏味之間的動態張力

4.10. 儘管大多數人認為音樂是與數學相關的創造性藝術，但講故事是最接近證明定理的創造性行為