能量不等式
這一部分需要知道的是能量的表示式
\[E(t)=\int_{0}^{l}u_{t}^{2}+a^{2}u_{x}^{2} dx
\]
一般而言題目常見的問法是證明能量是減少的，也就是我們需要證明
\[\dfrac{d}{dt}E(t) \le0
\]
在計算\(\dfrac{d}{dt}E(t) \le0\)的時候一定會用的題目給的方程條件去湊微分，還會用到Cauchy-Schwarz不等式放縮。
還要知道均方模的概念，例如\(u\)的均方模指的就是
\[E_{0}(t)=\int_{0}^{l}u^{2}dx
\]
在證明穩定性的時候我們會用到均方模。
以上是課本內容。標黃色部分是需要掌握的技巧。
例題 （課後題T1）
套路就是寫出能量\(E(t)\)的表示式然後求導證明其單調不增，穩定性的證明就是去估計\(u(x,t)\)的均方模.
評註：在求導的時候，注意黃色標註的地方，一般會湊題目給定的方程（例如本題就是湊\(u_{tt}-a^{2}u_{xx}=cu_{t}\))，後面會正好湊成一個微分，這部分需要自己動筆算體會一下。
下面證明唯一性的問題
評註：唯一性就是假設有兩個解\(u_{1}, u_{2}\)都滿足方程, 去考慮\(u=u_{1}-u_{2}\), 由於疊加原理，這時候\(u\)滿足的就是上圖的齊次方程，再利用第一步得到的能量不等式，就可以得到\(u=0\), 就說明了唯一性。
下面證明穩定性，需要考慮均方模了，就是說初始條件的均方模很小的時候，解的均方模也很小，這就是穩定的含義。
\[E_{0}(t)=\int_{0}^{l}u^{2}dx
\]
\[\dfrac{d}{dt} E_{0}(t)=2\int_{0}^{l}uu_{t}dx\stackrel{\text{Cauchy-Schwarz}}{\leq} \int_{0}^{l}u^{2}dx+\int_{0}^{l}u_{t}^{2}dx=E_{0}(t)+E(t)
\]
式子兩邊同時乘\(e^{-t}\), 湊微分，得到
\[\dfrac{d}{dx}(E_{0}(t)e^{-t}) \le E(t)e^{-t}
\]
對上式從0到\(t\)積分，得到
\[E_{0}(t)e^{-t}-E_{0}(0)\le \int_{0}^{t} E(\tau)e^{-\tau} d\tau
\]
\[E_{0}(t)\le e^{t}\int_{0}^{t} E(\tau)e^{-\tau} d\tau +E_{0}(0)e^{t} \stackrel{\text{E(t)單調遞減}}{\leq} E(0)(e^{t}-1)+E_{0}(0)e^{t}
\]
這就表明，初值\(E(0), E_{0}(0)\)很小的時候，解的均方模也很小。
評註：注意，我們剛剛是假設沒有外力\(f\)作用下的均方模估計，所以只考慮了初值\(E(0), E_{0}(0)\)，如果有外力\(f\)，我們還需要利用\(f\)的均方模去說明穩定性，這就需要進一步的估計。
至此我們就完成了全部的證明。
評註：本題用到的技巧，無一例外都是來源於課本。