浮點數表示及其實現.

我兩年前就知道不應該用==號來判斷浮點數的相等了,因為存在一個精度的問題,但是一直以來,都沒怎麼在乎這些東西,而實際上,我對於浮點數的結構,雖然瞭解,但並不清晰. 作為一個C++愛好者,應該儘量搞清楚每一個問題,所以我搞清楚了浮點數的內在表示及實現.在沒有大問題的情況下,一切以易於理解和記憶為標準.

首先說一下原,反,補,移碼. 移碼其實就等於補碼,只是符號相反. 對於正數而言,原,反,補碼都一樣, 對負數而言,反碼除符號位外,在原碼的基礎上按位取反,補碼則在反碼的基礎之上,在其最低位上加1,要求移碼時,仍然是先求補碼,再改符號.

浮點數分為float和double,分別佔4,8個位元組,即32,64位. 我僅以32位的float為例,並附帶說double.

在IEEE754標準中,規定,float的32位這樣分:

 

 這裡應該注意三點:   A,階碼是用移碼表示的,這裡會有一個127的偏移量,它的127相當於0,小於127時為負,大於127時為正,比如:10000001表示指數為129-127=2,表示真值為2^2,而01111110則表示2^(-1).

                                     B, 尾數全都是小數點後面的數,

                                     C, 但尾數中省略了一個1,因此尾數全為0時,也是1.0...00;

接下來只要說明幾個問題就明白了,以123.456為例,表示為二進位制就是:N (2) = 1111011. 01110100101111001 ,這裡,會右移6位,得到N (2) = 1.111011 01110100101111001*2^6; 這種形式就可以用於上圖中的表示格式了.              

符號位(S)            0

階碼(E) 00000110

尾數(M)11101101110100101111001

注意到,上面的階碼第一位為0表正,尾數比N(2)表示的第一位少了個1,這就是上面說的預設為第一位為1. 由於在將十進位制轉為二進位制的過程中,常常不能正好轉得相等, (當然,像4.0這樣的就不會有損失,而1.0/3.0這樣的必然損失),所以就產生了浮點數的精度問題, 實際上,小數點後的23位二進位制數,能影響的十進位制數的前8位,這是為什麼呢?一般人在這時往往迷迷胡胡了,其實很簡單,在上面表示的尾數中,是二進位制的,小數點後有23位,最後一位的值為1時,它就是1/2^22=0.000000238實際取的時候肯定是0.0000002,也就是說,對於一個float型的浮點數,其有效的位數是從左到右數7位(包括預設的1才是7位),當到達上面這個第8位時,就不可靠了,但我們的VC6可以輸出最長的1.0/3.0為0.33333333333333331,這主要是編譯器的問題了, 而並不是說浮點數小數點後的16位都有效. 如果不信的話,可以去試一下double型別的1.0/3.0, 得到的也將是小數點後17位.                                                                                                  ..另外,編譯器或電路板一般都有"去噪聲"的"修正"能力,它能夠使得超過7位的十進位制數即使無效了也不會變得離譜,這也是上面為什麼一直都是輸出333而不是345之類的,. 可以這樣試一下:

float f=123456789;
 cout<<f<<endl;//這裡肯定得到123456789.

這裡有一個被人遺忘的問題,就是10進位制小數怎麼變為2進位制小數,其實很簡單,就是將10進的小數部分不斷乘以2,進位時就將對應的2進位制位寫入1. 因此將上面的N (2) = 1.111011 01110100101111001*2^6;再轉回十進位制數時,很可能已經不再是123.456了. 好,精度問題應該說清楚了. 下面說示數範圍.

階碼的示數位數是8位移碼,最大為127最小為-127,這裡的127用來作為2的指數,因此為2^127,約等於 1.7014*10^38, 而我們知道,float的示數範圍約為-3.4*10^38-------3.4*10^38, 這是因為尾數的24位(預設第一位為1)全為1是,非常接近2,  1.11..11很明顯約為2,因此浮點數的範圍就出來了.

double的情況與float完全相似,只是它的內在形式是

符號位(S)           1

階碼(E) 11

尾數(M)     52

主要的區別在於它的階碼有11位了, 這就有2^1023約等於 0.8572*10^308, 尾數53位約為2,故double的示數範圍約為 -1.7*10^308.------1.7*10^308.  至於其精度,同樣,1.0/2^51=4.4*10^(-16).小數點後15位有效,加上預設的那一位,因此對於double浮點數,從左到右的16位數都是可靠的.

有時,我們會聽到"定點小數"這個詞,微控制器(如手機等)一般只使用定點數,迷糊的時候,我們會以為 float  a=23.4; 這種是定點小數, float a=2.34E1這種為浮點數,其實這是錯誤的, 上面只是同一個浮點數的不同表示,都是浮點數. 定點小數是有這種提法,認為整就是定點小數,小數點定在個位後面,小數部分為0.也可認為純小數是定點小數,但它只能表示小於1的純小數.

然後再說一下C/C++中的幾個函式, C++中預設輸出小數點後的5位小數,但可以設定,有兩種方法:呼叫setpression或者使用cout.pression,但效果是不同的:

 float mm=123.456789f;
 cout<<mm<<endl;  //123.457           雖說預設為不數點後5位,但只是整數部分只有一位才這樣.
 setprecision(10);                               //設定小數點後的位數,但當整數部分有兩位時,與預設情況沒什麼兩樣,不起作用.
 cout<<mm<<endl;  //123.457
 cout.precision(4);                              //設定總的位數.
 cout<<mm<<endl;  //123.4     總之效果是比較怪的,個人認為雖然這樣顯得不夠確定,但實為硬體系統所限.無可厚非.

對於0的實際表示,有人認為+0一般能絕對為0,而-0則可能表示一個極小的數.  為此,本人想到了一種很好的驗證辦法,證明了不管+0還是-0,它都是2^(-127),程式碼如下:

 float fDigital = 0.0f;        
 unsigned long nMem;// 臨時變數，用於儲存浮點數的記憶體資料
 // 將記憶體按位複製到臨時變中，以便取用,此時的nMem並不等於fDigital了,它是按位複製的。
 nMem = *(unsigned long*)&fDigital;
 cout<<nMem<<endl;  //一般得到一個很大的整數.

 bitset<32>mybit(nMem);//妙在此處,這裡的輸出就是32float的記憶體表示了.終於完全直觀地看到了.
 cout<<mybit<<endl;   //00000000000000000000000000000000 用-0.0來試,也是如此.

如果你還認為上面那一長串的0表示的是絕對的0,那麼請重新看本文. 事實上,本人的這種做法是比較巧妙的,將上面的fDigital用任何其它浮點數表示,這個bitset數都可以反映出它的記憶體表示.

有移碼錶示階碼有是有原因的,主要是移碼便於對階操作,從而比較兩個浮點數的大小. 這裡要注意的是,階碼不能達到11111111的形式,IEEE規定,當編譯器遇到階碼為0XFF時,即呼叫溢位指令.  總之,階碼化為整數時,範圍是:-127~127.

最後,有一個往往高手也汗顏的地方,一定要記住,浮點數沒有無符號型的usinged float/double是錯誤的.

本人才疏學淺,歡迎批評指正.

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