習題集

第一章

1. 設實係數方程\(x^3+ax^2+bx+c=0\)的三個根\(x_1,x_2,x_3\)滿足

\[(x_1-x_2)^2(x_1-x_3)^2(x_2-x_3)^2<0, \]

此方程共有多少個實根?

2. 解方程\(x^4+x^3+x^2+x+1=0\) (提示: 先看\(y=x+x^{-1}\)滿足的二次方程).

3. 設\(f\)是非空集\(X\)到集合\(Y\)中的對映, 證明

   1. \(f\)是單射, 當且僅當有對映\(g:Y\mapsto X\)使得\(g\circ f=I_X\), 這裡\(I_X\)為\(X\)上恆等對映(即把\(x\in X\)映到\(x\));
   2. \(f\)是滿射, 當且僅當有對映\(g:Y\mapsto X\)使得\(f\circ g=I_Y\).

4. 對於沒有單位元的半群\(M\), 是否可向其中新增一個新的元\(e\)使\(M\cup\{e\}\)成為么半群?