四元數可以旋轉三維空間中的向量，而最近剛好硬著頭皮讀《複分析視覺化方法》（見[1]），這本書中，作者非常巧妙地運用球極射影的方法，將三維空間單位球面上繞向量軸旋轉的變換，對映為複平面上旋轉矩陣的表示，對四元數的插值給出視覺化的有趣並且直觀的解釋。
四元數的基本定義（參考２），單位四元數可以寫做 q = cosθ + sinθ v 其中 v = li+mj+nk表示三維空間中的向量。有時候θ寫成θ/2是為了保持一致，描述四元數作用純四元數時能夠旋轉角度θ，後面可以看到這個θ/2神奇一般地與球面上過旋轉交點的兩條直線之間夾角相同。
繞球面上一點p旋轉θ角度，可以表示成對任意兩條過p成角θ/2的兩條球面直線（大圓）的反射覆合。反射就是類似對球面大圓所在平面的對稱點的數學概念。兩個反射可以複合成一個旋轉變換，如圖：
L與M的夾角是θ/2，相交於點r, 點P1對L反射為P2,再對M反射成P3，兩次反射後P1變成P3就像繞點r旋轉了θ角度。再複合一個旋轉，使P3對M反射又成P2，然後對N反射成P4, 四次連續反射後P1變成P4旋轉ψ角度。
經過證明（詳細請參考[1]255頁，6.2.4小節空間旋轉也是默比烏斯變換）跳過其中的細節，球面上的旋轉可以用複平面上的矩陣來表示。用矩陣相乘來研究球面上旋轉變換複合的性質。球面上繞v旋轉表示下面的矩陣形式，v = li+mj+nk：
在球面上分別繞 x ,y ,z 軸旋轉π, 例如當繞 x軸旋轉時 l = 1, m = 0, n = 0，ψ = π
容易驗證得出連續兩次繞 x ,y ,z 軸旋轉π，矩陣的乘積等於 -1，其中兩個矩陣的積等於另一個矩陣，所以繞向量v旋轉ψ的矩陣就可以拆解為下面的表示式：
到了這裡突然就有了一種似曾相識的感覺，上面表示式跟單位四元數的定義式等同。球面的上的旋轉複合現在可以用四元數的乘積來表示了，這一下好像開啟了一扇門，因為球面上所有的運動都可以用旋轉搞定，也就可以用四元數代數運算來表示了，反過來同理，單位四元數表示的4維向量，在球面上有具體的視覺化解釋，大腦於是開始炸裂了。接著，特里斯坦直接寫出四元素旋轉公式的非常直觀的證明，（描述下當時讀到這段的心情：經常看到用代數方法解決幾何問題，作者用幾何的方法證明代數公式，驚呆了！ 這比[4]文中用向量運算證明四元數旋轉公式的方法直觀很多）
簡單地考察球面上的點旋轉效果，假設球面上p'點是由p點繞a點角度ψ而成，想象一下在p'點時，繞a點相反方向角度－ψ就會回到原來的p點， 此時繞p點的旋轉任意角度θ，再繼以繞a點相正方向角度ψ，最後得到就是繞p'點旋轉角度θ。
要理解上式，可能剛開始心情比較平靜，感覺哪裡見過（比如矩陣相似形式），慢慢有一點不習慣，在這個等式中似乎任意兩個旋轉（對應的矩陣）都是相似的，因為球面上任意兩點p，p'都有一個點a,p繞a旋轉能到達p'。其次，旋轉空間中的向量，用四元數的代數運算代替了矩陣作用於向量的乘法，當 θ ＝ π時就是通常說的四元數的向量旋轉公式。
現在介紹視覺化球面線性插值SLERP，在網上分享的很多的資料和參考中，對兩個四元數的插值的計算方法（參考６）都是在四元數點積的基礎之上（類似三維空間向量的點積運算），相對於兩點之間的線性插值，四元數之間的插值顯得很不直觀。但使用前面描述的四元數的可視方法，這種插值方法就變得很直觀明白了。SLERP公式有兩種（參考３）：
q0,q1是需要進行插值的兩個四元數,q'是插值的中間狀態的值。第一個等式也是計算機中常用的插值公式，第二個等式相對來說要計算一次四元數的乘積（並不比矩陣運算量少），但這兩個等式下面可以看到其實是相同的。由於兩個單位四元數之積是另一個單位四元數，q0與q'的積是q1，求得q'：
t在[0,1]之中變化，使用q'的t次冪來對q0到q1插值，得益於上面等式(1)的運用，簡直就是尤拉公式的翻版，又一次驚呆了，對於這一類的四元數（只有旋轉角度θ改變，u保持不變）它們的性質就如複平面的單位長度的虛數一樣了，在時刻t由等式(2),q'的旋轉角度變成tθ，使用前面對四元數介紹，這樣插值就有很直觀的視覺化解釋了：
q'在q0到q1之間改變，它的旋轉角度在t1時刻是ψ1,在t2時刻變成ψ2，根據球面幾何中的計算方法，旋轉角度隨時間變化的增量ψ2－ψ1，即角速度變化並不是一個常數。在計算機的圖形應用中，如果一個物體繞q0旋轉過渡到繞q1旋轉，從微小到很難察覺的尺度看也許並不太絲滑。
逆推兩個插值公式相等，只需要θ＝ψ滿足就可以了。根據定義顯然cosθ等於q0與q1的點積，也等於q0的逆與q1乘積的實部cosψ，所以θ與ψ是相等的。從球面來視覺化看，q0與q1的夾角θ就是圖中球面上q0的逆與q1乘積的旋轉角θ。
總結：藉助四元數在球面上的表示，透過作圖可以看到兩個四元數之間插值時的改變。由於有限的時間和精力，不能把其中一些結論的詳細推導過程寫下來。作圖完全靠手畫，編寫數學公式不熟練，用了差不多一週的時間，透過讀下面引用的參考材料，將四元數插值過程大概描述出來也許也不錯吧。
參考：
[1] [美]特里斯坦.尼達姆, 複分析：視覺化方法，齊民友譯.北京：人民郵電出版社
[2] Understanding Quaternions 中文翻譯
[3] David Eberly, Quaternion Algebra and Calculus
[4] 四元數與旋轉變換
[5] 四元數的球面線性插值(slerp)
[6] 四元數插值與均值（姿態平滑）