2005 年諾貝爾經濟學獎得主托馬斯·謝林(Thomas Schelling)在上世紀 70 年代就紐約的人種居住分佈得出了著名的 Schelling segregation model,這是一個 ABM(agent-based model),當年謝林只能通過鉛筆在紙上進行模擬,而這次則利用 Python 進行模擬實現這個模型。
在電腦科學中,基於 Agent 的模型(agent-based models)被用來評估獨立(autonomous)agent(諸如個體、群組或物體)在整個系統中的影響。這個強大的分析工具常被用在實驗難以開展或者費用太高的時候。在社會科學,電腦科學,經濟學和商務各領域,這個模型都有著相當廣泛的應用。
在本文中,我會向你介紹用基於 Agent 的模型理解複雜現象的威力。為此,我們會用到一些 Python,社會學的案例分析和 Schelling 模型。
1. 案例分析
如果你觀察多民族(multi-ethnic)混居城市的種族(racial)分佈,你會對不可思議的種族隔離感到驚訝。舉個例子,下面是美國人口普查局(US Census)用種族和顏色對應標記的紐約市地圖。種族隔離清晰可見。
許多人會從這個現象中認定人是偏隘的(intolerant),不願與其它種族比鄰而居。然而進一步看,會發現細微的差別。2005 年的諾貝爾經濟學獎得主托馬斯·謝林(Thomas Schelling)在上世紀七十年代,就對這方面非常感興趣,並建立了一個基於 Agent 的模型——“Schelling 隔離模型”的來解釋這種現象。藉助這個極其簡單的模型,Schelling 會告訴我們,巨集觀所見並非微觀所為(What’s going down)。
我們會藉助 Schelling 模型模擬一些模擬來深刻理解隔離現象。
2. Schelling 隔離模型:設定和定義
基於 Agent 的模型需要三個引數:1)Agents,2)行為(規則)和 3)總體層面(aggregate level)的評估。在 Schelling 模型中,Agents 是市民,行為則是基於相似比(similarity ratio )的搬遷,而總體評估評估就是相似比。
假設城市有 n 個種族。我們用唯一的顏色來標識他們,並用網格來代表城市,每個單元格則是一間房。要麼是空房子,要麼有居民,且數量為 1。如果房子是空的,我們用白色標識。如果有居民,我們用此人的種群顏色來標識。我們把每個人周邊房屋(上下左右、左上右上、左下右下)定義為鄰居。
Schelling 的目的是想測試當居民更傾向於選擇同種族的鄰居(甚至多種族)時會如果發生什麼。如果同種族鄰居的比例上升到確定閾值(稱之為相似性閾值(Similarity Threshold)),那麼我們認為這個人已經滿意(satisfied)了。如果還沒有,就是不滿意。
Schelling 的模擬如下。首先我們將人隨機分配到城裡並留空一些房子。對於每個居民,我們都會檢查他(她)是否滿意。如果滿意,我們什麼也不做。但如果不滿意,我們把他分配到空房子。模擬經過幾次迭代後,我們會觀察最終的種族分佈。
3. Schelling 模型的 Python 實現
早在上世紀 70 年代,Schelling 就用鉛筆和硬幣在紙上完成了他的模擬。我們現在則用 Python 來完成相同的模擬。
為了模擬模擬,我們首先匯入一些必要的庫。除了 Matplotlib
以外,其它庫都是 Python 預設安裝的。
1 2 3 4 5 |
import matplotlib.pyplot as plt import itertools import random import copy |
接下來,定義名為 Schelling
的類,涉及到 6 個引數:城市的寬和高,空房子的比例,相似性閾值,迭代數和種族數。我們在這個類中定義了 4 個方法:populate
,is_unsatisfied
,update
,move_to_empty
, 還有 plot
)。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 |
class Schelling: def __init__(self, width, height, empty_ratio, similarity_threshold, n_iterations, races = 2): self.width = width self.height = height self.races = races self.empty_ratio = empty_ratio self.similarity_threshold = similarity_threshold self.n_iterations = n_iterations self.empty_houses = [] self.agents = {} def populate(self): .... def is_unsatisfied(self, x, y): .... def update(self): .... def move_to_empty(self, x, y): .... def plot(self): .... |
poplate
方法被用在模擬的開頭,這個方法將居民隨機分配在網格上。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 |
def populate(self): self.all_houses = list(itertools.product(range(self.width),range(self.height))) random.shuffle(self.all_houses) self.n_empty = int( self.empty_ratio * len(self.all_houses) ) self.empty_houses = self.all_houses[:self.n_empty] self.remaining_houses = self.all_houses[self.n_empty:] houses_by_race = [self.remaining_houses[i::self.races] for i in range(self.races)] for i in range(self.races): # 為每個種族建立 agent self.agents = dict( self.agents.items() + dict(zip(houses_by_race[i], [i+1]*len(houses_by_race[i]))).items() |
is_unsatisfied
方法把房屋的 (x, y)
座標作為傳入引數,檢視同種群鄰居的比例,如果比理想閾值(happiness threshold)高則返回 True
,否則返回 False
。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 |
def is_unsatisfied(self, x, y): race = self.agents[(x,y)] count_similar = 0 count_different = 0 if x > 0 and y > 0 and (x-1, y-1) not in self.empty_houses: if self.agents[(x-1, y-1)] == race: count_similar += 1 else: count_different += 1 if y > 0 and (x,y-1) not in self.empty_houses: if self.agents[(x,y-1)] == race: count_similar += 1 else: count_different += 1 if x < (self.width-1) and y > 0 and (x+1,y-1) not in self.empty_houses: if self.agents[(x+1,y-1)] == race: count_similar += 1 else: count_different += 1 if x > 0 and (x-1,y) not in self.empty_houses: if self.agents[(x-1,y)] == race: count_similar += 1 else: count_different += 1 if x < (self.width-1) and (x+1,y) not in self.empty_houses: if self.agents[(x+1,y)] == race: count_similar += 1 else: count_different += 1 if x > 0 and y < (self.height-1) and (x-1,y+1) not in self.empty_houses: if self.agents[(x-1,y+1)] == race: count_similar += 1 else: count_different += 1 if x > 0 and y < (self.height-1) and (x,y+1) not in self.empty_houses: if self.agents[(x,y+1)] == race: count_similar += 1 else: count_different += 1 if x < (self.width-1) and y < (self.height-1) and (x+1,y+1) not in self.empty_houses: if self.agents[(x+1,y+1)] == race: count_similar += 1 else: count_different += 1 if (count_similar+count_different) == 0: return False else: return float(count_similar)/(count_similar+count_different) < self.happy_threshold |
update
方法將檢視網格上的居民是否尚未滿意,如果尚未滿意,將隨機把此人分配到空房子中。並模擬 n_iterations
次。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 |
def update(self): for i in range(self.n_iterations): self.old_agents = copy.deepcopy(self.agents) n_changes = 0 for agent in self.old_agents: if self.is_unhappy(agent[0], agent[1]): agent_race = self.agents[agent] empty_house = random.choice(self.empty_houses) self.agents[empty_house] = agent_race del self.agents[agent] self.empty_houses.remove(empty_house) self.empty_houses.append(agent) n_changes += 1 print n_changes if n_changes == 0: break |
move_to_empty
方法把房子座標(x, y)
作為傳入引數,並將 (x, y)
房間內的居民遷入空房子。這個方法被 update
方法呼叫,會把尚不滿意的人遷入空房子。
1 2 3 4 5 6 7 8 |
def move_to_empty(self, x, y): race = self.agents[(x,y)] empty_house = random.choice(self.empty_houses) self.updated_agents[empty_house] = race del self.updated_agents[(x, y)] self.empty_houses.remove(empty_house) self.empty_houses.append((x, y)) |
plot
方法用來繪製整個城市和居民。我們隨時可以呼叫這個方法來了解城市的居民分佈。這個方法有兩個傳入引數:title
和 file_name
。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 |
def plot(self, title, file_name): fig, ax = plt.subplots() # 如果要進行超過 7 種顏色的模擬,你應該相應地進行設定 agent_colors = {1:'b', 2:'r', 3:'g', 4:'c', 5:'m', 6:'y', 7:'k'} for agent in self.agents: ax.scatter(agent[0]+0.5, agent[1]+0.5, color=agent_colors[self.agents[agent]]) ax.set_title(title, fontsize=10, fontweight='bold') ax.set_xlim([0, self.width]) ax.set_ylim([0, self.height]) ax.set_xticks([]) ax.set_yticks([]) plt.savefig(file_name) |
4. 模擬
現在我們實現了 Schelling 類,可以模擬模擬並繪製結果。我們會按照下面的需求(characteristics)進行三次模擬:
- 寬 = 50,而高 = 50(包含 2500 間房子)
- 30% 的空房子
- 相似性閾值 = 30%(針對模擬 1),相似性閾值 = 50%(針對模擬 2),相似性閾值 = 80%(針對模擬 3)
- 最大迭代數 = 500
- 種族數量 = 2
建立並“填充”城市。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
schelling_1 = Schelling(50, 50, 0.3, 0.3, 500, 2) schelling_1.populate() schelling_2 = Schelling(50, 50, 0.3, 0.5, 500, 2) schelling_2.populate() schelling_3 = Schelling(50, 50, 0.3, 0.8, 500, 2) schelling_3.populate() |
接下來,我們繪製初始階段的城市。注意,相似性閾值在城市的初始狀態不起作用。
1 2 |
schelling_1_1.plot('Schelling Model with 2 colors: Initial State', 'schelling_2_initial.png') |
下面我們執行 update
方法,繪製每個相似性閾值的最終分佈。
1 2 3 4 5 6 7 8 |
schelling_1.update() schelling_2.update() schelling_3.update() schelling_1.plot('Schelling Model with 2 colors: Final State with Similarity Threshold 30%', 'schelling_2_30_final.png') schelling_2.plot('Schelling Model with 2 colors: Final State with Similarity Threshold 50%', 'schelling_2_50_final.png') schelling_3.plot('Schelling Model with 2 colors: Final State with Similarity Threshold 80%', 'schelling_2_80_final.png') |
觀察以上的繪圖,我們可以發現相似性閾值越高,城市的隔離度就越高。此外,我們還會發現即便相似性閾值很小,城市依舊會產生隔離。換言之,即使居民非常包容(tolerant)(相當於相似性閾值很小),還是會以隔離告終。我們可以總結出:巨集觀所見並非微觀所為。
5. 測量隔離
以上模擬,我們只通過視覺化來確認隔離發生。然而,我們卻沒有對隔離的計算進行定量評估。本節我們會定義這個評估標準,我們也會模擬一些模擬來確定理想閾值和隔離程度的關係。
首先在 Schelling
類中新增 calculate_similarity
方法。這個方法會計算每個 Agent 的相似性並得出均值。我們會用平均相似比評估隔離程度。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 |
def calculate_similarity(self): similarity = [] for agent in self.agents: count_similar = 0 count_different = 0 x = agent[0] y = agent[1] race = self.agents[(x,y)] if x > 0 and y > 0 and (x-1, y-1) not in self.empty_houses: if self.agents[(x-1, y-1)] == race: count_similar += 1 else: count_different += 1 if y > 0 and (x,y-1) not in self.empty_houses: if self.agents[(x,y-1)] == race: count_similar += 1 else: count_different += 1 if x < (self.width-1) and y > 0 and (x+1,y-1) not in self.empty_houses: if self.agents[(x+1,y-1)] == race: count_similar += 1 else: count_different += 1 if x > 0 and (x-1,y) not in self.empty_houses: if self.agents[(x-1,y)] == race: count_similar += 1 else: count_different += 1 if x < (self.width-1) and (x+1,y) not in self.empty_houses: if self.agents[(x+1,y)] == race: count_similar += 1 else: count_different += 1 if x > 0 and y < (self.height-1) and (x-1,y+1) not in self.empty_houses: if self.agents[(x-1,y+1)] == race: count_similar += 1 else: count_different += 1 if x > 0 and y < (self.height-1) and (x,y+1) not in self.empty_houses: if self.agents[(x,y+1)] == race: count_similar += 1 else: count_different += 1 if x < (self.width-1) and y < (self.height-1) and (x+1,y+1) not in self.empty_houses: if self.agents[(x+1,y+1)] == race: count_similar += 1 else: count_different += 1 try: similarity.append(float(count_similar)/(count_similar+count_different)) except: similarity.append(1) return sum(similarity)/len(similarity) |
接下去,我們算出每個相似性閾值的平均相似比,並繪製出相似性閾值和相似比之間的關係。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 |
similarity_threshold_ratio = {} for i in [0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7]: schelling = Schelling(50, 50, 0.3, i, 500, 2) schelling.populate() schelling.update() similarity_threshold_ratio[i] = schelling.calculate_similarity() fig, ax = plt.subplots() plt.plot(similarity_threshold_ratio.keys(), similarity_threshold_ratio.values(), 'ro') ax.set_title('Similarity Threshold vs. Mean Similarity Ratio', fontsize=15, fontweight='bold') ax.set_xlim([0, 1]) ax.set_ylim([0, 1.1]) ax.set_xlabel("Similarity Threshold") ax.set_ylabel("Mean Similarity Ratio") plt.savefig('schelling_segregation_measure.png') |
通過上圖,可以發現即便相似性閾值非常小,依然會得到很高的隔離度(由平均相似性評估)。舉個例子,相似閾值為 0.3,會得到 0.75 的平均相似性。我們可以通過量化再次確定巨集觀所見並非微觀所為。
6. 總結
在本文中,我們介紹了一個基於 Agent 的模型——“Schelling 隔離模型”,並用 Python 實現。這個十分簡單的模型幫助我們理解了非常複雜的現象:多民族城市中的種族隔離。我們可以發現城市種族的高度隔離不必解讀成個體層面的偏隘。
參考
https://www.coursera.org/course/modelthinking
打賞支援我翻譯更多好文章,謝謝!
打賞譯者
打賞支援我翻譯更多好文章,謝謝!
任選一種支付方式