參考資料：

• 影象卷積與濾波的一些知識點
• 影象處理基本概念——卷積，濾波，平滑

1.卷積的基本概念

首先，我們有一個二維的濾波器矩陣（有個高大上的名字叫卷積核）和一個要處理的二維影象。然後，對於影象的每一個畫素點，計算它的鄰域畫素和濾波器矩陣的對應元素的乘積，然後加起來，作為該畫素位置的值。這樣就完成了濾波過程。
注意：卷積和協相關的差別是，卷積需要先對濾波矩陣進行180的翻轉，但如果矩陣是對稱的，那麼兩者就沒有什麼差別了。

對於濾波器，也有一定的規則要求：

1. 濾波器的大小應該是奇數，這樣它才有一箇中心，例如3x3，5x5或者7x7。有中心了，也有了半徑的稱呼，例如5x5大小的核的半徑就是2。
2. 濾波器矩陣所有的元素之和應該要等於1，這是為了保證濾波前後影象的亮度保持不變。當然了，這不是硬性要求了。
3. 如果濾波器矩陣所有元素之和大於1，那麼濾波後的影象就會比原影象更亮，反之，如果小於1，那麼得到的影象就會變暗。如果和為0，影象不會變黑，但也會非常暗。
4. 對於濾波後的結構，可能會出現負數或者大於255的數值。對這種情況，我們將他們直接截斷到0和255之間即可。對於負數，也可以取絕對值。

2.各個卷積核的使用效果

2.1 啥也不做

2.2 影象銳化濾波器（Sharpness Filter）

影象的銳化和邊緣檢測很像，首先找到邊緣，然後把邊緣加到原來的影象上面，這樣就強化了影象的邊緣，使影象看起來更加銳利了。這兩者操作統一起來就是銳化濾波器了，也就是在邊緣檢測濾波器的基礎上，再在中心的位置加1，這樣濾波後的影象就會和原始的影象具有同樣的亮度了，但是會更加銳利。

我們把核加大，就可以得到更加精細的銳化效果

另外，下面的濾波器會更強調邊緣：

主要是強調影象的細節。最簡單的3x3的銳化濾波器如下：

實際上是計算當前點和周圍點的差別，然後將這個差別加到原來的位置上。另外，中間點的權值要比所有的權值和大於1，意味著這個畫素要保持原來的值。

2.3 邊緣檢測（Edge Detection）

我們要找水平的邊緣。需要注意的是，這裡矩陣的元素和是0，所以濾波後的影象會很暗（數字影象中，255對應純白，0對應純黑），只有邊緣的地方是有亮度的。

為什麼這個濾波器可以尋找到水平邊緣呢？因為用這個濾波器卷積相當於求導的離散版本：你將當前的畫素值減去前一個畫素值，這樣你就可以得到這個函式在這兩個位置的差別或者斜率。下面的濾波器可以找到垂直方向的邊緣，這裡畫素上和下的畫素值都使用：

再下面這個濾波器可以找到45度的邊緣：取-2不為了什麼，只是為了讓矩陣的元素和為0而已。

那下面這個濾波器就可以檢測所有方向的邊緣:

為了檢測邊緣，我們需要在影象對應的方向計算梯度。用下面的卷積核來卷積影象，就可以了。但在實際中，這種簡單的方法會把噪聲也放大了。另外，需要注意的是，矩陣所有的值加起來要是0.

2.4 浮雕（Embossing Filter）

簡單看一下實現浮雕效果所使用的卷積核：
浮雕濾波器可以給影象一種3D陰影的效果。只要將中心一邊的畫素減去另一邊的畫素就可以了。這時候，畫素值有可能是負數，我們將負數當成陰影，將正數當成光，然後我們對結果影象加上128的偏移。這時候，影象大部分就變成灰色了。
下面是45度的浮雕濾波器

我們只要加大濾波器，就可以得到更加誇張的效果了

2.5 均值模糊（Box Filter）

我們可以將當前畫素和它的四鄰域的畫素一起取平均，然後再除以5，或者直接在濾波器的5個地方（注意：圖中卷積核中心寫錯了，應該是0.2）取0.2的值即可，如下圖：

可以看到，這個模糊還是比較溫柔的，我們可以把濾波器變大，這樣就會變得粗暴了：注意要將和再除以13.

所以，如果你想要更模糊的效果，加大濾波器的大小即可。或者對影象應用多次模糊也可以。

2.6 高斯模糊（Gaussian Blur）

均值模糊很簡單，但不是很平滑。高斯模糊就有這個優點，所以被廣泛用在影象降噪上。特別是在邊緣檢測之前，都會用來移除細節。高斯濾波器是一個低通濾波器。

2.7 運動模糊（Motion Blur）

簡單看一下實現浮雕效果所使用的卷積核：
運動模糊可以通過只在一個方向模糊達到，例如下面9x9的運動模糊濾波器。注意，求和結果要除以9。

這個效果就好像，攝像機是從左上角移動的右下角。

3.卷積的計算

對影象處理而言，存在兩大類的方法：空域處理和頻域處理！空域處理是指直接對原始的畫素空間進行計算，頻率處理是指先對影象變換到頻域，再做濾波等處理。

3.1 空域計算-直接2D卷積

• 計算方法：

  直接2D卷積就是一開始說的那樣，對於影象的每一個畫素點，計算它的鄰域畫素和濾波器矩陣的對應元素的乘積，然後加起來，作為該畫素位置的值。

  
  
  
  
  

  直接的實現也稱為暴力實現brute force，因為它嚴格按照定義來實現，沒有任何優化。當然了，在並行實現裡面，它也是比較靈活的。另外，也存在一個優化版本，如果我們的kernel是separable可分的，那麼就可以得到一個快5倍左右的卷積方法。

• 邊界處理

  那摺積核遇到影象邊緣怎麼辦？例如影象頂部的畫素，它的上面已經沒有畫素了，那麼它的值如何計算？目前有四種主流的處理方法，我們用一維卷積和均值濾波來說明下。
  我們在1D影象中，用每個畫素和它的二鄰域的平均值來取代它的值。假設我們有個1D的影象I是這樣的：

  
  
  
  
  

  對非影象邊界的畫素的操作比較簡單。假設我們對I的第四個畫素3做區域性平均。也就是我們用2,3和7做平均，來取代這個位置的畫素值。也就是，平均會產生一副新的影象J，這個影象在相同位置J (4) = (I(3)+I(4)+I(5))/3 = (2+3+7)/3 = 4。同樣，我們可以得到J(3) = (I(2)+I(3)+I(4))/3 =(4+2+3)/3 = 3。需要注意的是，新影象的每個畫素都取決於舊的影象，在計算J (4)的時候用J (3)是不對的，而是用I(3)，I(4)和I(5)。所以每個畫素都是它和它鄰域兩個畫素的平均。平均是線性的操作，因為每個新的畫素都是舊畫素的線性組合。
  對卷積，也有必須要考慮的情況是，在影象邊界的時候，怎麼辦？J(1)的值應該是什麼？它取決於I(0)，I(1)和I(2)。但是我們沒有I(0)呀！影象左邊沒有值了。有四種方式來處理這個問題：

方法一：想象I是無限長的影象的一部分，除了我們給定值的部分，其他部分的畫素值都是0。在這種情況下，I(0)=0。所以J(1) = (I(0) + I(1) + I(2))/3 = (0 + 5 + 4)/3= 3. 同樣，J(10) = (I(9)+I(10)+I(11))/3 = (3+ 6 + 0)/3 = 3.

方法二：想象I是無限影象的一部分。但沒有指定的部分是用影象邊界的值進行擴充。在我們的例子中，因為影象I最左邊的值I(1)=5，所以它左邊的所有值，我們都認為是5 。而影象右邊的所有的值，我們都認為和右邊界的值I(10)一樣，都是6。這時候J(1) = (I(0) + I(1) + I(2))/3 = (5 + 5 + 4)/3= 14/3. 而J(10) = (I(9)+I(10)+I(11))/3 = (3 + 6 + 6)/3 = 5。

方法三：認為影象是週期性的。也就是I不斷的重複。週期就是I的長度。在我們這裡，I(0)和I(10)的值就是一樣的，I(11)的值和I(1)的值也是一樣的。所以J(1) = (I(0) + I(1) + I(2))/3= (I(10) + I(1)+ I(2))/3 = (6 + 5 + 4)/3 = 5 。

3.2 頻域計算-快速傅立葉變換FFT卷積

後面的部分還沒學習，詳見：http://blog.csdn.net/zouxy09/article/details/49080029

4.影象濾波

4.1 影象濾波的目的

濾波就是要去除沒用的資訊，保留有用的資訊，可能是低頻，也可能是高頻

4.2 影象的濾波方法

影象的濾波方法很多，主要可以分為頻率域法和空間域法兩大類。頻率域法的處理是在影象的某種變換域內，對影象的變換系數值進行運算，然後通過逆變換獲得增強影象。這是一種間接的影象濾波方法。空間濾波方法是一類直接的濾波方法，它在處理影象時直接對影象灰度作運算。

• 頻率域濾波
  將影象從空間或時間域轉換到頻率域，再利用變換系數反映某些影象特徵的性質進行影象濾波。
  傅立葉變換是一種常用的變換。在傅立葉變換域，頻譜的直流分量正比於影象的平均亮度，噪聲對應於頻率較高的區域，影象實體位於頻率較低的區域。影象在變換具有的這些內在特性可被用於影象濾波。可以構造一個低通濾波器，使低頻分量順利通過而有效地阻於高頻分量，即可濾除影象的噪聲，再經過反變換來取得平滑的影象。

低通的數學表示式如下所示：

F(u,v)表示原圖的在傅立葉域的影象
H(u,v)表示傳遞函式（即低通濾波器）
G(u,v)表示經過低通濾波的F(u,v)

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選擇適當的傳遞函式H (u, v)對頻率域低通濾波關係重大。常用的傳遞函式有梯形函式、指數函式、巴特沃思函式等。
頻域常用的幾種低通濾波器為：理想低通濾波器(Ideal circular Iow-passfilter)、巴特沃思(Butterworth)低通濾波器、指數低通濾波器及梯形低通濾波器。這些低通濾波器，都能在影象內有噪聲干擾成分時起到改善的作用。

• 平面空間域濾波

平面空間域濾波法主要分為兩類：

1. 擬合影象的方法，包括n階多項式擬合、離散正交多項式擬合、二次曲面擬合等
2. 平滑影象的方法，包括領域平均法、中值濾波法、梯度倒數加權法、選擇式掩模法等

平面空間域濾波主要使用兩種濾波器：

1. 高通濾波器：邊緣提取與增強。邊緣區域的灰度變換加大，也就是頻率較高。所以，對於高通濾波，邊緣部分將被保留，非邊緣部分將被過濾
2. 低通濾波：將會是邊緣部分變得平滑。注意：高斯濾波是一種線性平滑濾波，即低通濾波，適用於消除高斯噪聲。
   常用的高斯模板有如下幾種形式：
   
   
   
   高斯模板中的引數是通過高斯函式計算出來的。計算高斯模板引數時，通過如下公式：
   
   
   
   x的平方和y的平方分別表示的是鄰域內其他畫素與鄰域內中心畫素的距離，Sigmma代表的是標準差。

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實驗效果圖：（後面補）

常見的低通濾波實驗效果圖

線性與非線性濾波

• 線性濾波：
  線性濾波器的原始資料與濾波結果是一種算術運算，即用加減乘除等運算實現，如均值濾波器（模板內畫素灰度值的平均值）、高斯濾波器（高斯加權平均值）等。由於線性濾波器是算術運算，有固定的模板，因此濾波器的轉移函式是可以確定並且是唯一的（轉移函式即模板的傅立葉變換）。
• 非線性濾波：
  非線性濾波器的原始資料與濾波結果是一種邏輯關係，即用邏輯運算實現，如最大值濾波器、最小值濾波器、中值濾波器等，是通過比較一定鄰域內的灰度值大小來實現的，沒有固定的模板，因而也就沒有特定的轉移函式（因為沒有模板作傅立葉變換），另外，膨脹和腐蝕也是通過最大值、最小值濾波器實現的。五種常見的非線性濾波運算元，這五種濾波運算元對不同的影象都會有不同的作用，最常用的是中值濾波，因為它的效果最好且資訊損失的最少。
  • 極大值濾波:
    極大值濾波就是選取畫素點領域的最大值作為改點的畫素值，有效率去了灰度值比較低的噪聲，也可作為形態學裡面的膨脹操作。
  • 極小值濾波:
    與極大值濾波相反。
  • 中點濾波：
    中點濾波器將鄰域的最大和最小值求平均來代替當前畫素點值。
  • 中值濾波:
    中值濾將鄰域內畫素點值排序，用序列中的中值取代當前畫素點值。可以消除影象中的長尾噪聲，例如負指數噪聲和椒鹽噪聲。
  • 加權中值濾波（中值濾波的改進）
    網上的解釋：
    加權中值濾波是在中值濾波的基礎上加以改進，其效能在一定程度上優於中值濾波。
    下面是自己在演算法上的改進，以例子說明：
    若說選模板的大小為5，那麼這個模板就唯一確定為：
    1 1 5 1 1
    1 1 5 1 1
    5 5 5 5 5
    1 1 5 1 1
    1 1 5 1 1
    上圖中的數字表式改點畫素在序列中出現的次數。然後根據模板平滑影象。實驗證明該方法好於傳統中值濾波。
    自己的理解：
    加權中值濾波就是在對鄰域畫素值進行排序時，有些畫素值讓它多出現幾次。比如上面的模板，就是讓與當前畫素點同行同列的畫素點的值都出現5次。

5.結語

影象的卷積核濾波是影象處理中比較基礎又很重要的部分，主要應用在去除影象噪聲，提取影象邊緣等場合。
文中如有不當之處歡迎留言。我們下次再見。