讀天才與演算法：人腦與AI的數學思維筆記12_數學的藝術

1. 數學

1.1. 靈光乍現，從來都是厚積薄發

1.1.1. 亨利·龐加萊（Henri Poincaré）

1.2. 數學的起源可以追溯到人類試圖理解自己所生活的環境，預測接下來會發生什麼，從而使我們更加適應環境，並選擇對我們有利的事物

1.2.1. 數學是人類的一種生存行為

1.3. 數學有關直覺

1.3.1. 數學不僅僅是計算的事

1.3.2. 美學的敏感性和思想的邏輯正確性一樣重要

1.3.3. 能感覺到該以怎樣的邏輯去探索未知

1.3.4. 當DeepMind的演算法發現怎樣以非常相似的方式去做某些事的時候，它引發了一場“生存危機”

1.4. 《一個數學家的辯白》

1.4.1. 劍橋數學家哈代（G.H.Hardy）

1.4.2. 數學家就像畫家或詩人一樣，都是形式的締造者

1.4.3. 如果說數學的形式比其他的更持久，那是因為數學的形式是由思想構成的

1.4.4. 數學家的算式就像畫家的畫或詩人的詩，必須是美的

1.4.5. 思想就如同色彩或是文字，必須以和諧的方式結合在一起

1.4.6. 美是首要的，因為在數學的世界裡，沒有醜陋數學的容身之所

1.5. 在創造新的事物方面，創造力發揮著不可替代的作用

1.5.1. 自上而下的程式設計模式，將驅使計算機發現新的數學定理

1.5.2. 競賽中，理解規則是很重要的

1.6. 從過往的人類數學經驗中學習如何區分令人激動的定理和無聊的定理，而這反過來又可能會引導機器產生一個新的價值定理

2. 數學證明的遊戲

2.1. 1995年，報紙上盈千累萬的頭條都是關於安德魯·懷爾斯對費馬大定理的徹底證明

2.2. 2006年，特立獨行的俄羅斯數學家格里戈裡·佩雷爾曼（Grigori Perelman）證明了數學中一個重要的未解決的問題——龐加萊猜想（Poincaréconjecture）

2.3. 數學家工作的核心是證明

2.3.1. 公理是關於數字和幾何的不言自明的真理，證明就是從公理開始的邏輯論證

2.3.2. 透過分析公理，我們可以重新組合出關於數字和幾何確切的新的表達形式

2.3.3. 然後，這些新發現可以構成新證明的基礎，而新證明反過來又將引導我們發現公理的更多邏輯結果

2.3.4. 數學的發展就像一個有生命的生物體，從先前存在的形式向外不斷延伸開來

2.4. 數學家所面臨的挑戰是需要證明得到這樣的結果是否符合數學本身的邏輯

2.5. 公理是棋盤上棋子的起始位置，邏輯推理規則是決定棋子如何運動的引數，證明是棋子一步一步的運動軌跡

2.5.1. 安德魯·懷爾斯和其他為證明費馬大定理而努力工作的數學家，就這樣確定了“棋子”一系列的移動，最後完成了費馬大定理指定的排列方式

2.6. 數學界的藝術之一就是找出這些猜想目標

2.6.1. 提出正確的猜想比埋頭苦算更重要

2.6.2. 要發現暗藏在數字裡的真相，需要對數學有異常靈敏的嗅覺

2.6.2.1. 這往往就是數學家最具創造性和可以發揮高深莫測技能的地方

2.6.2.2. 數學家只有一輩子都沉浸在數學的世界裡，才可能獲得關於數學猜想的靈敏嗅覺

2.6.2.3. 這通常是一種不需要解釋的直覺和預感，是所有人夢寐以求的東西

2.6.2.4. 這就是計算機很難對猜想計算成功的原因之一

2.7. 自上而下的演算法像是一個醉漢在黑暗中跌跌撞撞

2.7.1. 它有可能會隨機地溜達到一個“有趣的地方”（奇異點）

2.7.2. 大多數時候，它的行動沒有重點、沒有方向，毫無價值

2.8. 如果演算法基於人類數學家的經驗進行學習，這種自下而上的結構能否使演算法發展出一種對奇異點的直覺呢？

2.8.1. 這種直覺往往稍縱即逝，所以證明出一個猜想是如此的難得和重要

2.8.2. 編寫演算法來給數學家制造更多的挑戰，這會成為我們探索數學領域的新動力嗎？

3. 錯誤猜想

3.1. 19世紀偉大的數學家卡爾·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）對質數的猜想

3.2. 高斯認為Li（x）–π（x）的值總是正的，而且是遞增的

3.3. 所有的證據都表明高斯是對的

3.3.1. 如果讓一臺計算機來解決這個問題，它將產生支援高斯猜想的資料

3.4. 1914年李特爾伍德從理論上證明了事實正好相反（即存在Li（x）小於π（x））

3.4.1. 高斯的猜想是錯誤的，但證明他錯誤的這個數字大得驚人

3.4.2. 李特爾伍德的學生塞繆爾·斯克維斯（Samuel Skewes）首次證明，如果黎曼猜想成立的話，第一個李特爾伍德反例值一定小於這樣一個數，我們稱之為斯克維斯數，其表示成簡單的科學計數法是：10^100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

3.4.2.1. 比宇宙中原子的數量還多

3.4.2.2. 整個可觀測宇宙的原子數不過是10^80

3.5. 我們無法證明它們是真的，還是我們的直覺和現有的資料將我們引入了歧途

3.6. 為了將那些未經證明的猜想與現已證明的定理聯絡起來，我們痴迷於嘗試建立起一系列數學運算

4. 數學的起源

4.1. 數學家本質上是一位規律的探索者和發現者，而數學是發現和解釋規律的科學

4.2. 發現規律的能力讓人類在與自然世界的談判中佔據了優勢，也正是因為它，讓我們能夠規劃未來

4.3. 人類非常善於發現這些規律，因為那些錯過規律的物種沒有能存活下來

4.3.1. 對規律最原始的識別體現在一些最原始的繪畫藝術中

4.4. 大腦的工作方法太先進了，會把圖案解讀成並不存在的資料，就像許多觀眾看到裡希特《4900種色彩》系列繪畫作品時感受到的一樣

4.5. 我們的大腦非常享受解決問題找到答案時的快感，這種快感是多巴胺或腎上腺素帶給我們的

4.5.1. 計算機不是生物體，它無法產生多巴胺和腎上腺素，所以它也無法體驗這種快感

4.6. 解決這樣的數學題，需要嚴密的邏輯思維、對抽象的分析能力等，這些能力有機地結合起來才最終促成了解得答案這樣的結果

5. 數字的概念

5.1. 能夠精確地計算出數字的意義對許多動物的生存至關重要，其會告訴動物在面對對手時，是該戰鬥還是逃走

5.1.1. 給這些數字命名並用符號表示是人類特有的能力

5.2. 在我們的十進位制系統中，數字的表達對應的是10的不同次方（冪）

5.3. 瑪雅人進行著複雜的天文學研究，他們需要大量的數字來記錄大量的資料

5.3.1. 瑪雅人使用的是二十進位制，數字的表達對應的是20的不同次方（冪）

5.3.2. 瑪雅人並不是第一個想出用冪來表示數字這個聰明辦法的，只不過其他文明使用了十進位制或其他進位制，而他們使用了二十進位制

5.4. 4000年前，古巴比倫人提出了獨特的計數體系：他們沒有采用瑪雅人的二十進位制，也沒有采用我們現在使用的十進位制，而是採用了六十進位制，開創了一個新的體系

5.4.1. 60可以被2、3、4、5、6、10、12、15、20、30整除，這種高可除性使它成了這個計數體系的基礎，同時有利於進行高速有效的計算

5.4.2. 六十進位制的影響之一表現在今時今日我們記錄時間的方式上：一小時是60分鐘，一分鐘是60秒

5.4.3. 在古巴比倫人留下的楔形文字泥板上，我們首次看到了數字與我們周圍世界關係的數學分析

5.4.3.1. 啟發了一些運用數學的人去思考數學的其他可能性

5.5. 古巴比倫人以代數的方法來思考運用數字，但是他們並沒有記錄下為什麼這種方法或演算法總是能給出正確的答案，也就是說他們並沒有將成果理論化，只是在運用而已

5.5.1. 古巴比倫人的數學，是對特定的事例進行運算

5.5.2. 他們發現的方法是用來解決某些特定的問題，他們只是發現了這樣運算是正確的，但沒有去解釋為什麼這些方法總是有效

5.6. 理論總是出現在實踐之後

5.6.1. 直到公元9世紀，巴格達智慧館的波斯學者才發明了代數語言

5.6.2. 智慧館的圖書館長和天文臺長，數學家、天文學家、“代數之父”花拉子密創立了代數這門學科，儘管最早使用代數的是古巴比倫人

5.7. 數字與數字之間的數學關係被更進一步有效地利用和加強，使得計算的速度得到大幅提升

6. 證明的起源

6.1. 數學證明遊戲的起源可以追溯到古希臘人，他們發現運用邏輯論證可以獲得關於數字和幾何顛撲不破的真理

6.1.1. 未經審視的生活不值得度過。

6.1.1.1. 蘇格拉底

6.2. 證明是數學的本質特徵，是數學家賭上自己的名譽在尋找的“聖盃”

6.2.1. 證明可以轉化為一系列的符號，併為一組符號與另一組符號之間的關係設定一個規則集

6.2.2. 遵循數學遊戲的規則，你就可以得到數學的定理

6.3. 歐幾里得的《幾何原本》成了後世證明的正規化，也為證明制定了規則

6.3.1. 歐幾里得的巨大歷史功績不僅在於建立了一種幾何學，更在於首創了一種科研方法

6.3.2. 這方法所授益於後人的，甚至超過了幾何學本身

6.3.3. 歐幾里得是第一個將亞里士多德用三段論形式表述的演繹法用於構建實際知識體系的人

6.3.4. 幾何學是對空間進行邏輯分析，而不是訴諸直觀

6.4. 邏輯推理規則也允許我們根據迄今所知的事實來寫下公理和真理

6.5. 命題演算分離規則（modus ponens）是一種推演規則，指在命題演算和謂詞演算形式的公理系統中廣泛使用的推演規則，此規則的符號表示為A→B，即從A可推演出B

6.5.1. 此規則的邏輯意義是，如果一個蘊含式及其前件均為邏輯真的，則它的後件也是邏輯真的

6.5.2. 分離規則保持了永真性，即如果A和A→B是永真的，則B也是永真的，反之亦然

6.5.3. 此規則的補充規則規定，A→B為真時，若B為假，則A亦為假

6.6. 事實上，如果公理為真，我們賦予任何符號任何意義，都將引發一場“遊戲”（推理與證明），推理與證明會幫我們找出答案

6.6.1. 計算機可以在不需要真正瞭解符號含義的情況下進行推理與證明

6.6.2. 關係由公理來體現

6.6.3. 使得計算機能夠按照邏輯推理，即在沒有真正瞭解具體狀況的情況下建立數學推理

6.7. 約翰·羅傑斯·希爾勒（John Rogers Searle）設計的思維試驗——“中文房間”

6.7.1. 遵循規則不能顯示智力和理解力水平

6.8. 證明的衝動很有可能是社會演變的副產品，從權力集中的古埃及、古巴比倫，再到民主的古希臘

6.8.1. 社會的這種變革激發了人們提出巧妙的數學證明形式

6.8.2. 邏輯給了人說服別人的力量，這使用邏輯論證來表達自己說服別人與數學證明同時發端

6.9. 數學家不是計算器，而是證明的構建者

6.9.1. 費馬證明了當N為正整數且p為質數並大於N時，N的p次方除以p所得餘數是N

6.9.2. 尤拉證明了e^πi+1=0—著名的“尤拉公式”

6.9.3. 高斯證明了每個正整數都可以分解為3個三角數

6.9.4. 安德魯·懷爾斯證明了費馬大定理