一本書的推薦序——寫在《思考的樂趣》即將上市之際

有關對《思考的樂趣：matrix67數學筆記》一書作者顧森，想必大家不會太陌生，大家可以參考一下我們這篇訪談"Matrix67的Aha！Moment"，今天看到本書的兩篇推薦序，一篇作者是《數學文化》期刊聯合主編香港浸會大學湯濤教授，另一篇作者是中國科學院院士張景中教授。

推薦序一

欣聞《思考的樂趣：matrix67數學筆記》即將出版，應作者北大中文系的數學俠客顧森的要求寫個序。我非常榮幸也非常高興做這個命題作業。記得幾個月前，與顧森校友及圖靈新知叢書的編輯朋友們相聚北大資源樓喝茶談此書的出版，還談到書名等細節。沒想到圖靈的朋友出手如此之快，策劃如此到位。在此也表示敬意。我本人也是圖靈新知叢書的粉絲，看過他們好幾本書，比如《數學萬花筒》、《數學那些事兒》、《歷史上最偉大的10個方程》等，都很不錯。

我和顧森雖然只有一面之緣，但好幾年前就知道並關注他的部落格了。他的部落格內容豐富、有趣，有很多獨到之處。誠如一篇關於他的報導所說，在百度和谷歌的搜尋框裡輸入matrix，搜尋提示欄裡排在第一位的並不是那部英文名為Matrix（《黑客帝國》）的著名電影，而是一個名為matrix67的個人部落格。自2005年6月開博以來，這個部落格始終保持更新，如今已有上千篇博文。在果殼科技的網站裡（這也是一個我喜歡看的網站），他的自我介紹也很有意思：“數學宅，能背到圓周率小數點後50位，會證明圓周率是無理數，理解尤拉公式的意義，知道四維立方體是由8個三維立方體組成的，能夠把直線上的點和平面上的點一一對應起來。認為生活中的數學無處不在，無時不影響著我們的生活。”

據說，顧森進入北大中文系純屬誤打誤撞。2006年，還在念高二的他代表重慶八中參加了第23屆中國青少年資訊學競賽並拿到銀牌，獲得了保送北大的機會。選專業時，招生老師傻了眼：他竟然是個文科生。為了專業對口，顧森被送入了中文系，學習應用語言學。

雖然身在文科，他卻始終迷戀著數學。在他看來，數學似乎無所不能。對於用數學來解釋生活，他持有一種近乎偏執的狂熱——在他的部落格上，油畫、可樂罐、選舉制度、打計程車，甚至和女朋友在公園約會，都能與數學建立起看似不可思議卻又合情合理的聯絡。這些題目，在他這本新書裡也有充分體現。

近代有很多數學普及家，他們不只對數學有著較深刻的理解，更重要的是對數學有著一種與生俱來的摯愛。他們的努力搭起了數學圈外人和數學圈內事的橋樑。

這裡最值得稱頌的是馬丁•伽德納，他是公認的趣味數學大師。他為《科學美國人》 雜誌寫趣味數學專欄，一寫就是二十多年，同時還寫了幾十本這方面的書。這些書和專欄影響了好幾代人。在美國受過高等教育的人（尤其是搞自然科學的），絕大多數都知道他的大名。許多大數學家、科學家都說過他們是讀著伽德納的專欄走向自己現有專業的。他的許多書被譯成各種文字，影響力遍及全世界。有人甚至說他是20世紀後半葉在全世界範圍內數學界最有影響力的人。對我們這一代中國人來說，他那本被譯成《啊哈，靈機一動！》的書很有影響力，相信不少人都讀過。讓人吃驚的是，在數學界如此有影響力的伽德納竟然不是數學家，他甚至沒有修過任何一門大學數學課。他只有本科學歷，而且是哲學專業。他從小喜歡趣味數學，喜歡魔術。讀大學時本來是想到加州理工去學物理，但聽說要先上兩年預科，於是決定先到芝加哥大學讀兩年再說。沒想到一去就迷上了哲學，一口氣讀了四年，拿了個哲學學士。這段讀書經歷似乎和顧森有些相似之處。

當然，也有很多職業數學家，他們在學術生涯裡也不斷為數學的傳播做著巨大努力。比如英國華威大學的Ian Stewart。Stewart是著名數學教育家，一直致力於推動數學知識走通俗易懂的道路。他的書深受廣大讀者喜愛，包括《數學萬花筒》、《數學萬花筒2》《上帝擲骰子嗎?》、《更平坦之地》、《給青年數學家的信》、《如何切蛋糕》等。

回到顧森的這本書上。書的很多章節題目都很吸引人，比如“數學之美”、“幾何大廈”、“精妙的證明”。書的特點就是將抽象、枯燥的數學知識，通過創造情景、深入淺出來展現出來，讓讀者在愉悅中學習數學。比如“概率論教你說謊”、“找東西后面的概率問題”、“統計資料的陷阱”、“定寬曲線與蒲豐投針試驗”、“利用賭博求解數學問題”等內容，就是利用一些趣味性的話題，一方面可以輕鬆地消除讀者對數學的畏懼感，另一方面又可以把概率和統計的原始思想糅合在這些小段子裡。

數學是美麗的。對此有切身體會的陳省身先生在南開的時候曾親自設計了“數學美”的掛曆，其中12幅畫頁分別為複數、正多面體、劉徵與祖沖之、圓周率的計算、數學家高斯、圓錐曲線、雙螺旋線、國際數學家大會、計算機的發展、分形、麥克斯韋方程和中國剩餘定理。這是陳先生心目中的數學之美。我的好朋友劉建亞教授有句名言：“欣賞美女需要一定的視力基礎；欣賞數學美需要一定的數學基礎。”此書的第二部分“數學之美”就是要通過遊戲、圖形、數列等淺顯概念讓有簡單數學基礎的讀者朋友們也能領略到數學之美。

我發現顧森的部落格裡談了很多作圖問題，這和網上大部分數學部落格不同。作圖是數學裡一個很有意思的部分，歷史上有很多相關的難題和故事（最著名的可能是高斯19歲時僅用尺規就構造出了正17邊形的故事）。本書的第三部分專門講了“尺規作圖問題”、“單規作圖的力量”、“火柴棒搭成的幾何世界”、“摺紙的學問”、“探索圖形剪拼”等，願意動動手的數學愛好者絕對會感到興奮。對於作圖的樂趣和意義，我想在此引用本人在新浪微博上的一個小段子加以闡述。

學生：“我們家有的是錢，畫圖儀都買得起，為啥作圖只能用直尺和圓規，有時還只讓用其中的一個？” 老師：“上世紀有個中國將軍觀看學生籃球賽。比賽很激烈，將軍卻慷慨地說，娃們這麼多人搶一個球？發給他們每人一個球開心地玩。”

數學文化微博評論：生活中更有意思的是戰勝困難和挑戰所贏得的快樂和滿足。

書的最後一部分命名為“思維的尺度”，“俄羅斯方塊可以永無止境地玩下去嗎？”、“比無窮更大的無窮”、“無以言表的大數”、“不同維度的對話”等話題一看起來就很有意思，作者試圖通過這些有趣的話題使讀者享受數學概念間的聯絡、享受數學的思維方式。陳省身先生臨終前不久曾為數學愛好者題詞：“數學好玩”。事實上顧森的每篇文章都在向讀者展示數學確實好玩。數學好玩這個命題不僅對懂得數學奧妙的數學大師成立，對於廣大數學愛好者同樣成立。

見過他本人或看過他的相片的人一定會同意顧森是個美男子，有陽剛之氣。很高興看到這個英俊才子對數學如此熱愛。我期待顧森的書在不久的將來會成為暢銷書，也期待他有一天會成為馬丁•伽德納這樣的趣味數學大師。

湯濤 《數學文化》期刊聯合主編 香港浸會大學數學講座教授 2012.3.5

推薦序二

我本不想寫這個序。因為知道多數人看書不愛看序言。特別是像本書這樣有趣的書，看了目錄就被吊起了胃口，性急的讀者肯定會直奔那最吸引眼球的章節，哪還有耐心看你的序言？

話雖如此，我還是答應了作者，同意寫這個序。一箇中文系的青年學生如此喜歡數學，居然寫起數學科普來，而且寫得如此投入又如此精彩，使我無法拒絕。

書從日常生活說起，一開始就講概率論教你如何說謊。接下來談到失物、物價、健康、公平、密碼還有中文分詞，原來這麼多問題都與數學有關！但有關的數學內容，理解起來好像並不是很容易。一個消費稅的問題，又是圖表曲線，又是均衡價格，立刻有了高深模樣。說到最後，道理很淺顯：向消費者收稅，消費意願減少，商人的利潤也就減少；向商人收稅，成本上漲，消費者也就要多出錢。數學就是這樣，無論什麼都能插進去說說，而且千方百計把事情說個明白，力求返璞歸真。

如果你對生活中這些事無所謂，就從第二部分開始看吧。這裡有“讓你立刻愛上數學的8個算術遊戲”。作者口氣好大，區區5頁文字，能讓人立刻愛上數學？你看下去，就知道作者沒有騙你。這些算術遊戲做起來十分簡單卻又有趣，背後的奧祕又好像深不可測。8個遊戲中有6個與數的十進位制有關，這給了你思考的空間和當一回數學家的機會。不妨想想做做，換成二進位制或八進位制，這些遊戲又會如何？如果這幾個遊戲勾起了探究數字奧祕的興趣，那就接著往下看，後面是一大串折磨人的長期沒有解決的數學之謎。問題說起來很淺顯明白，學過算術就懂，可就是難以回答。到底有多難，誰也不知道。也許明天就有人想到了一個巧妙的解答，這個人可能就是你；也許一萬年仍然是個懸案。

但是這一部分的主題不是數學之難，而是數學之美。這是數學文化中常說常新的話題，大家從各自不同的角度欣賞數學之美。陳省身出資兩萬設計出版了《數學之美》掛曆，十二幅畫中有一張是分形，是唯一在本書這一部分中出現的主題。這應了作者的說法：“講數學之美，分形圖形是不可不講的。”喜愛分形圖的讀者不妨到網上搜尋一下，在圖片庫裡有豐富的彩色分形圖。一邊讀著本書，一邊欣賞神祕而驚人美麗的藝術作品，從理性和感性兩方面享受思考和觀察的樂趣吧。此外，書裡還有不常見的資訊，例如三角形居然有5000多顆心，我是第一次知道。看了這一章，馬上到網上看有關的網站，確實是開了眼界。

作者接下來介紹幾何。幾何內容太豐富了，作者著重講了幾何作圖。從經典的尺規作圖、有趣的單規作圖，到瘋狂的生鏽圓規作圖、意外有效的火柴桿作圖，再到功能特強的摺紙作圖和現代化機械化的連桿作圖，在幾何世界裡我們做了一次心曠神怡的旅遊。 原來小時候玩過的摺紙剪紙，都能夠進入數學的大雅之堂了！最近看到《數學文化》月刊上有篇文章，說摺紙技術可以用來解決有關太陽能飛船、輪胎、血管支架等工業設計中的許多實際問題，真是不可思議。

學習數學的過程中，會體驗到三種感覺。

一種是思想解放的感覺。從小學裡學習加減乘除開始，就不斷地突破清規戒律。兩個整數相除可能除不盡，引進分數就除盡了；兩個數相減可能不夠減，引進負數就能夠相減了；負數不能開平方，引進虛數就開出來了。很多現象是不確定的，引進概率就有規律了。瀏覽本書過程中，心底常常升起數學無禁區的感覺。說謊問題，定價問題，語文句子分析問題，都可以成為數學問題；擺火柴桿，摺紙，剪拼，皆可成為嚴謹的學術。好像在數學裡沒有什麼問題不能討論，在世界上沒有什麼事情不能提煉出數學。

一種是智慧和力量增長的感覺。小學裡使人焦頭爛額的四則應用題，一旦學會方程，做起來輕鬆愉快，摧枯拉朽地就解決了。曾經使許多飽學之士百思不解的曲線切線或面積計算問題，一旦學了微積分，即使讓普通人做起來也是小菜一碟。有時僅僅讀一個小時甚至十幾分鍾，就能感受到自己智慧和力量的增長。十幾分鍾之前還是一頭霧水，十幾分鍾之後豁然開朗。讀本書的第4部分時，這種智慧和力量增長的感覺特別明顯。作者把精心選擇的巧妙的數學證明，一個接一個地丟擲來，讓讀者反覆體驗智慧和力量增長的感覺。這裡有小題目也有大題目，不管是大題還是小題，解法常能令人拍案叫絕。在解答一個小問題之前作者說：“看了這個證明後，你一定會覺得自己笨死了。”能感到自己之前笨，當然是因為智慧增長了！

一種是心靈震撼的感覺。小時候讀到棋盤格上放大米的數學故事，就感到震撼，原來264-1是這樣大的數！在細細閱讀本書第5部分時，讀者可能一次一次地被數學思維的深遠巨集偉所震撼。一個看似簡單的數字染色問題，推理中運用的數字遠遠超過佛經裡的“恆河沙數”，以至於數字僅僅是數字而無實際意義！接下去，數學家考慮的“所有的命題”和“所有的演算法”就不再是有窮個物件。而對於無窮多的物件，數學家依然從容地處理之，該是什麼就是什麼。自然數已經是無窮多了，有沒有更大的無窮？開始總會想到有理數更多。但錯了，數學的推理很快證明，密密麻麻的有理數不過和自然數一樣多。有理數都是整係數一次方程的根，也許加上整係數2次方程的根，整係數3次方程的根等等，也就是所謂代數數就會比自然數多了吧？這裡有大量的無理數呢！結果又錯了。代數數看似聲勢浩大，仍不過和自然數一樣多。這時會想所有的無窮都一樣多吧，這次又錯了。簡單而巧妙的數學推理得到很多人至今不肯接受的結論：實數比自然數多！這是偉大的德國數學家康託的代表性成果。

說這個結論很多人至今不肯接受是有事實根據的。科學出版社去年出了一本書名為《統一無窮理論》，該書作者主張無窮只有一個。作者不贊成實數比自然數多，希望建立新的關於無窮的理論，他的努力受到一些研究數理哲學的學者的支援，可惜目前還不能自圓其說。我不知道有哪位數學家支援“統一無窮理論”，但反對“實數比自然數多”的數學家歷史上是有過的。康託的老師克羅內克激烈地反對康託的理論，以致康託得了終身不愈的精神病。另一位大數學家布勞威爾發展了構造性數學，這種數學中不承認無窮集合，只承認可構造的數學物件。只承認構造性的證明而不承認排中律，也就不承認反證法。而康託證明“實數比自然數多”用的就是反證法。儘管絕大多數的數學家不肯放棄無窮集合概念，也不肯放棄排中律，但布勞威爾的構造性數學也被承認是一個數學分支，並在電腦科學中發揮重要作用。

平心而論，在現實世界確實沒有無窮。既沒有無窮大也沒有無窮小。無窮大和無窮小都是人們智慧的創造物。有了無窮的概念，數學家能夠更方便地解決或描述僅僅涉及有窮的問題。數學能夠思考無窮，而且能夠得出一系列令人信服的結論，這是人類精神的勝利。但是，對無窮的思考、描述和推理，歸根結底只能通過語言和文字元號來進行。也就是說，我們關於無窮的思考，歸根結底是有窮個符號排列組合所表達出來的規律。這樣看，構造數學即使不承認無窮，也仍然能夠研究有關無窮的文字元號，也就能夠研究有關無窮的理論。因為有關無窮的理論表達為文字元號之後，也就成為有窮的可構造的物件了。

話說遠了，回到本書。本書一大特色，是力圖把道理說明白。作者總是用自己的語言來闡述數學結論產生的來龍去脈，在關鍵之處還不忘給出飽含激情的特別提醒。數學的美與數學的嚴謹是分不開的。數學的真趣在於思考。不少數學科普，甚至國外有些大家的作品，說到較為複雜深刻的數學成果，常常不肯花力氣講清楚其中的道理，可能認為講了讀者也不會看，是費力不討好。本書講了不少相當深刻的數學工作，其推理過程有時曲折迂迴，作者總是不畏艱難，一板一眼地力圖說清楚，認真實踐著古人“誨人不倦”的遺訓。這個特點使本書能夠成為不少讀者案頭床邊的常備讀物，有空看看，常能有新的思考，有更深的理解和收穫。

信筆寫來，已經有好幾頁了。即使讀者有興趣看序言，也該去看書中更有趣的內容並啟動思考了吧。就此打住。祝願作者精益求精，根據讀者反映和自己的思考發展不斷豐富改進本書；更希望早日有新作問世。

2012年4月29日