從排列的角度看超幾何分佈

超幾何分佈屬於組合問題，它描述的是從n個物品中抽出r個物品，成功抽出指定種類的物品（共有n1個）的個數為k的概率。一般數學表示為：

這公式是通常的從組合的角度得出的，易於理解，要使抽出的r個物品恰有指定的物品為k個，那麼可以這樣抽取：先在n1個指定的物品中抽取k個，然後在其餘的(n-n1)個物品中抽取餘下的(r-k)個物品。我受排列的啟發，發現也可以從排列的角度重新得出超幾何分佈的公式，如下：

， 其中:

這個公式的物理意義也比較容易理解，要使抽出的r個物品恰有指定的物品為k個，那麼可以這樣考慮：r個物品中有k個指定物品，一共有種情況，對於每一種情況如果考慮順序，易知一共有種情況，既然分子上考慮了順序，那麼分母上的總數也應該考慮順序，故為。經計算，其實上述兩種表示式是等價的：

現在我們可以說，無論是從組合還是從排列的角度，超幾何分佈的這兩種表示式都是等價的，因為對於排列角度的超幾何分佈，分子和分母都考慮了順序，其作用相互抵消了。雖然排列角度的表示式和組合角度的表示式是等價的，但是我們可以利用新推出的排列角度的表示式很容易的解決許多問題。下面我們就用新的排列角度的超幾何分佈公式來證明“超幾何分佈的極限定理”。

超幾何分佈的極限定理表述如下：如果n充分大，而且n1=np,n-n1=nq，那麼有如下不等式：

證明如下（注意其中利用了排列角度的超幾何分佈）：

• 先證左邊部分

• 再證右邊部分

至此，超幾何分佈的極限定理證明結束。當然排列角度的超幾何分佈的應用不僅僅於此！