紀念艾倫•圖靈百年誕辰

劉瑞挺/文 本文首發於《計算機教育》第11期

圖靈公司將會在11月末出版《圖靈的祕密：他的生平、思想及論文解讀》，以紀念這位科學巨匠的百年誕辰。

艾倫•麥席森•圖靈（Alan Mathison Turing）1912年6月23日生於英國倫敦梅達維洛（Maida Vale, London），今年正好是他100週年誕辰。這位英國皇家學會會員、數學家、邏輯學家，被國際公認為電腦科學與人工智慧之父。正當他具有奔流不息的思維源泉和將其付諸實踐的巨大熱情時，1954年6月7日圖靈在英國柴郡的韋姆斯洛（Wilmslow, Cheshire）住所不幸意外辭世，差半個月才滿42歲，一代科學巨星隕落。

長期以來，人們把圖靈看得很神祕、很古怪、很遙遠，令人敬畏而難以理解。褒者認為他是奇才，貶者認為他是畸才。事實上，他的確是涉獵廣泛的科學天才，不僅對數學及計算科學，而且對物理學（量子力學與相對論）、化學（類似煉金術士般著迷）、生物學（生物形態及數學生物學）都有濃厚的興趣與創新。他看似對人漫不經心，但極其友善誠懇。他是世界級的馬拉松運動員，卻陷於同性戀的懲罰與折磨。真是人無完人、金無足赤，我們知道達•芬奇也是同性戀者，艾薩克•牛頓曾是隱祕而執著的煉金術士。偉大的科學家並不是神，我們應該把圖靈還原成真實的人。

家族溯源（1316-）

圖靈的父系家族來自法國諾曼底，家譜可追溯至1316年。14世紀初該家族來到蘇格蘭的阿伯丁郡（Aberdeenshire）。家族的格言是：“幸運幫助有膽量的人”（拉丁文Fortuna audentes juvat）。這個姓氏有幾個拼法：Turyn、Turine、Turin、Turing，其中Turin是法國姓氏。17世紀初，當時威廉•圖靈（Sir William Turyn）從英王詹姆斯一世（1566-1625，其間1567-1625為蘇格蘭國王，1603年起為英格蘭國王）接受了騎士爵位後，才在詞尾加了“g”，成為後來的英國姓氏Turing。

在英國內戰的伍斯特戰役（1651年）中，由於當時約翰•圖靈（Sir John Turing of Foveran, 1st Baronet.）對國王忠誠，貢獻了近300年積累的地產，獲得準男爵爵位。因此，圖靈家族成為財富不多卻受人尊敬的低層次貴族，在阿伯丁郡享有盛譽。18世紀該家族有人去荷蘭、印度發展，又積累了一些財富。

艾倫•圖靈的祖父約翰•羅伯特•圖靈於1844-1848年在劍橋大學三一學院學習數學，獲數學榮譽學位，後來在劍橋做了牧師。祖母是芬妮•蒙塔古•圖靈，他們有8個子女。其中朱利斯•麥席森•圖靈（Julius Mathison Turing，1873-1947）就是艾倫的父親，他進入牛津學習歷史，後來在英屬印度馬德拉斯做民政工作。朱利斯絲毫沒有繼承其父的數學才能，代數對他來說都是望而生畏的東西。

（圖為艾倫•圖靈的父親朱利斯•圖靈）

圖靈的母系來自丹麥的斯托尼家族，大約9世紀來到英國約克郡。以de Stanehow（迪•斯坦尼豪）或Stonehow（斯托尼豪）的姓氏而聞名。17世紀末移居南愛爾蘭，獲得土地而定居開發。後來這個家族出現過幾位皇家學會會員，一位是愛爾蘭物理學家喬治•約翰斯頓•斯托尼（George Johnstone Stoney，1826-1911），他曾推測電子的存在，併為電子、紫外線命名。他的兒子喬治•傑勒德•斯托尼也是皇家學會會員，在蒸汽輪機、探照燈製造方面有貢獻。

艾倫的外祖父愛德華•沃勒•斯托尼是土木工程師，大部分職業生涯在印度馬德拉斯鐵路上度過，在橋樑施工方面有獨創性，1903年曾獲得“印度帝國勳章”。外祖母薩拉•克勞福德是業餘畫家，畫過許多印度風景。艾倫的母親埃塞爾•薩拉•斯托尼（Ethel Sara Stoney，1881-1976）曾在巴黎大學文理學院學習。

在一次由印度出發，經日本、加拿大、美國返回英國的輪船上，朱利斯與薩拉相遇，並於1907年10月1日在都柏林結婚。

童年時代（1912-1925）

朱利斯與薩拉共有兩個兒子。長子約翰•費里爾•圖靈於1908年9月1日出生，次子艾倫•麥席森•圖靈於1912年6月23日出生。哥哥約翰後來成為律師，弟弟艾倫即為本文的主角，並以圖靈專指他。

由於父母經常往返於英國黑斯廷斯與印度馬德拉斯之間，擔心印度的氣候不利於孩子的成長，於是他們把兩個孩子留在英國與朋友同住。最初是寄養在退休上校軍人沃德夫婦在黑斯廷斯市（Hastings）聖萊奧納茲昂西（St Leonards-on-Sea）的家裡。沃德夫人成為孩子難捨難分的“奶奶”。

根據圖靈母親的回憶，艾倫是一個非常聰明的孩子，他有一句討人喜歡的慣用語：“那麼多明天”，他對新詞彙有驚人的記憶力，說話非常準確而流利。沒有他察覺不到的東西，你不能對他欺瞞任何事情。艾倫從小就喜歡動手。3歲時，他的玩具船上的木頭水手壞了，他就把木頭水手的小胳膊小腿栽到花園裡，滿以為可以重新長出玩具水手。5歲時，有一次父親看到他把靴子的舌頭弄擰了，告訴他“這些靴子的舌頭應該像煎餅那樣平”，他立即用自己的方式進行反駁：“煎餅通常是捲起來的”。有一次父親因鎖骨骨折住院，他在看望之後概括地說：“爸爸，看起來你的腦袋一點兒毛病也沒有”。

1918年他進入聖萊奧納茲昂西的聖邁克爾（St Michael）初級小學學習，他對於講授的課程領悟得並不很快，但他在自學了閱讀的“原理”後，就有了自己獨特的閱讀“方法”。作算術時他能一眼就看出答案，而其它孩子要在紙上費力地算。他還給同學編過“百科全書”，寫過什麼“關於一種顯微鏡”的文章。他還熱衷於配製把臺階染成綠色的“臺階粉”；還用草根、蘿蔔葉、蕁麻製成飲料；配製治療皮膚的藥；還給父親製造“特種混合菸草”等。

1921年9歲時他離開聖邁克爾，女校長泰勒小姐說：“我教過一些聰明而勤勉的男孩，但艾倫卻是個天才”。

1921年夏，母親發現艾倫簡直完全變了，由一個十分活躍、願意與任何人交朋友的孩子，變成一個不愛交際、神情恍惚的人。因為他很想念父母和哥哥（約翰已經轉入哈茲爾赫斯特高小），於是母親決定在他們一起度假後，留下來帶艾倫離開聖邁克爾而由她自己教孩子一個學期的課，通過親密接觸使艾倫恢復原來的樣子。母親給他詳細講解了長式除法的原理，到艾倫成名後仍然記憶猶新。母親還帶艾倫去倫敦玩，他既不進悶熱的商店，也不注意來往的車輛，而是忙著用磁鐵收集地溝裡的金屬屑。當然，艾倫還有許多問題，例如提出“媽媽，什麼東西使氧和氫這樣緊密地相互結合成水？”

（圖為艾倫•圖靈與母親薩拉•圖靈一起度假）

1922年春，艾倫進入哈茲爾赫斯特高小。不過他把空餘時間都用於疊紙上。當年秋天父母又返回印度時，艾倫對這些離別深感痛苦，母親令人心酸的回憶是“當時他張著雙臂，拼命追趕我們漸漸遠去的出租汽車”。兄弟倆又寄宿在羅洛•邁耶夫婦家中。

1923年他寫給父母的信經常用簡圖描述自己的發明，例如打字機、照相機、專利墨水等。他還對板球、國際象棋、辯論學會產生了興趣。達林頓校長的夫人說：“艾倫善於發明的頭腦總是忙個不停。”他的成績單上，品行、聖經、數學、法文都是優秀，但他的作業又髒又亂，實在嚇人。

1924年暑期父母帶他在牛津度過，他十分愜意地騎車去鄉間探險，還登上了斯諾登山（海拔1035米），而且對繪製地圖產生了興趣，經常記下測量的資料。這一年父親辭去了印度民政部的工作，艾倫得到一套中學百科全書，家裡又給他買了坩堝、曲頸瓶及化學藥品，艾倫就在地下室不停地進行嚴肅的實驗。他安排了實驗順序表，表示：“我似乎總想用最普通的東西、花費最少的能量搞出些名堂”。

捨本公學（1926-1930）

1926年春艾倫考取了捨本公學（Sherborne School），這是在多塞特（Dorset）的一所“公立”寄宿學校。他在此中學上到1930年底。

開學時正好爆發了1926年的英國大罷工，鐵路停運。他們全家從法國旅遊回來，輪船剛在南安普敦港靠岸，艾倫立刻給學校的學監奧漢倫先生髮電報說自己要騎自行車去學校，保證按時報到。母親告訴他不要想一天就跑完60英里（約97公里）的路程，他帶上地圖就出發了，途中還在一家旅社住了一宿。他這種不尋常的報到方式在學校出了名。當他的進步出現低潮時，奧漢倫先生總會提起：“好啦，他畢竟是騎自行車來的呀！”

圖靈入學不久，史密斯校長就發現：“如果他要成為一個獨立的科學家，那麼在公立學校就是浪費他的時間”，當時這些獨立的公學對教育的定義是著重於人文學科而不是科學。校長還說：“他是那種在任何學校或團體中都必然會造成問題的孩子，肯定在某些方面是不合群的。但是我認為他在我們這個環境裡，會有良好機會去發展自己的特殊天才，與此同時也還有機會學到某種生活的藝術。”

學校的化學實驗激起他的熱情，他的愛好還有廣泛地閱讀，但幾乎不看文科的書。真正對他產生影響的是一本流行的科普讀物，書名是Natural Wonders Every Child Should Know即《兒童必讀的自然奇觀》。圖靈天生對科學的喜好給他的文科老師留下不好的印象。

他的學習成績猶如潮汐，時漲時落。本來他的數學非常好，但他花大量時間去鑽研高深的數學時，就忽略了基礎課程。1927年艾倫自己找到解反正切函式的級數，雖然這個格里高利級數早已有了，但艾倫是在沒有微積分知識的情況下，自己發現的。這一年艾倫還對愛因斯坦的相對論發生了濃厚的興趣。他不但能夠理解愛因斯坦的著作，而且能夠從一段文字裡推匯出愛因斯坦關於牛頓運動定律的公式。此外，艾倫還自制了一個天球儀，畫上主要的星座和星宿。他還在繪畫上創作過一些作品，受到好評。當然還有各種花樣的打賭胡鬧，例如在寒冷的一月下河游泳；在較熱的六月參加軍訓時穿著大衣操練。

1928年初中畢業時，文科老師與理科老師發生了激烈的爭論：文科老師認為艾倫考試不合格，理科老師則抗議讓他留級，校長折衷同意讓他一學期後再考一次。期間，艾倫的父親輔導他英文，母親輔導他神學，並請私人教師輔導他拉丁文。艾倫經過一陣突擊，七門功課全部合格。此後他變得愛交際，對人也更友好了。他成為宿舍裡的“常任數學家”，很願意幫助同學。奧漢倫先生說，“艾倫像長輩那樣關心本宿舍的孩子，無疑把自己的知識和好奇心都傳授給了他們”。

事實上，中學階段唯一能和艾倫進行智力交流並有深厚友情的是一位比他高一個年級的同學克里斯托弗•莫科姆（Christopher Morcom），他倆同樣是最有才華的孩子。然而這種友誼只維持了兩年，莫科姆在剛剛考取了劍橋大學三一學院的獎學金後，於1930年2月13日突然病故，這使艾倫非常悲痛。他寫道：“我覺得，我將會在什麼地方與莫科姆再度相逢，並且有某件工作等著我們一起去幹，正如我過去確信有需要我們共同在這裡做的工作一樣。現在只剩下我一個人去完成它了，我一定不讓他失望，縱使興趣不那麼大，我也要投入彷彿他仍在這裡時那麼多的力量。如果我獲得成功，我將比現在更無愧為他的朋友。”這是多麼深沉的情誼和成熟的思想。此後的3年，在他給莫科姆母親的信中，表達了他要研究思維與物質的關係，特別是探索莫科姆的智慧為什麼會被死亡奪去的緣由。

這個問題引導他研究了20世紀初物理學的新發現，他讀了A. S. Eddington的書The Nature of the Physical World（即《物理世界的本質》），為量子理論對傳統的物質與精神的影響而驚歎不已。

1930年艾倫提交了一篇論文“亞硫酸鹽和鹵化物在酸性溶液中的反應”，獲得了莫科姆父母設立的“克里斯托弗•莫科姆自然科學獎”，英國政府的督學稱該論文是一篇很值得讚揚的作品。艾倫曾經把一本德文版的《量子力學的數學基礎》選為獎品，不久就對此書發生了興趣。

1930年12月艾倫考取了劍橋大學國王學院的獎學金。聖誕節前，他從捨本公學帶回一大堆獎品，母親問他是什麼，他說：“噢，我也不知道”。事實上，這包括畢業獎學金、宿舍長獎學金、國王愛德華六世數學金盾獎等，捨本公學的學習就此圓滿結束。

劍橋大學（1931-1935）

1931年10月圖靈進入劍橋大學國王學院（King's College, Cambridge），他感到如魚得水，鬆緊適度，這是他欣賞的第一個鼓勵學生自由思考的“家”。他參加了划船運動，俱樂部的朋友回憶道：“傳統上划船是‘粗人’的運動，但當時國王學院划船俱樂部卻是一個天生粗人和尋求對抗刺激的知識分子的奇特混合物，艾倫的朋友屬於知識分子那一類。凡需要竭盡全力的運動對艾倫都有一種自然的吸引力。”

（圖為劍橋大學國王學院）

由於艾倫享受獎學金，偶而他被要求在國王學院的教堂朗誦聖經，他總是欣然從命。但艾倫對他的宗教信仰閉而不談。

進入劍橋大學不久，他就推匯出一個定理，使他的導師非常高興。這個定理曾經由希爾賓斯基用很麻煩的方法證明過，但艾倫的方法要簡單得多。由此可見，他還是用自己的方法進行研究，而忽視正規課程的學習。他還買了一把舊提琴，自娛自樂。假期他參加各種冒險活動，還曾經去德國旅遊兩次，一次是去滑雪，另一次是騎自行車遊覽。當時，英國學生在德國常常用“嗨，希特勒”打招呼，幾乎成為“你好”的等價語。但艾倫從來不這樣做，這是他的典型性格。他認為納粹的信條是一種罪惡，即使在細小的手勢上也不妥協。

（圖為1931年的圖靈）

這段期間，圖靈的主要興趣是量子力學、概率論、邏輯學。

1932年他閱讀了馮•諾依曼（John von Neumann，1903-1957）關於量子力學邏輯基礎的最新研究，這幫助他由情感的思考轉變為嚴肅的智力探索。1933年他自己鑽研了英國著名哲學家、邏輯學家羅素（Bertrand Russell，1872-1970）的Principia Mathematica（《數學原理》），從而進入神祕的數理邏輯領域。羅素的邏輯思想本來是數理邏輯的堅實基礎，但後來出現了許多問題。特別是1931年美籍奧地利數學家哥德爾（Kurt Gödel，1906-1978）給出的數學不完備性第一定理（數論或集合論中，每一個形式體系如果相容，則是不完備的。）給了希爾伯特第2問題以否定的回答，這對羅素是很大的挑戰。順便提及，希爾伯特（David Hilbert，1862-1943）是德國偉大的數學家，他在1900年國際數學家大會上提出23個問題，促進了20世紀數學的發展。

1933年秋，艾倫在倫理科學俱樂部宣讀了題為“通過數學哲學說明某些問題”的文章。他有幫助非數學專業的人解決某些難題的本事。

1934年的暑假很長，他回家參加了哥哥約翰與瓊•漢弗萊斯的婚禮，隨後就返回劍橋，繼續忙他的研究工作。他發表的第一篇論文是Equivalence of left and right almost periodicity（左右端幾乎週期性的等價詞），1935年3月寄到倫敦數學學會，發表在學會雜誌1935年第10捲上。菲利普•霍爾教授稱其為“非常漂亮的小證明”。

接著，他集中精力撰寫“On the Gaussian Error Function”（關於高斯誤差函式）的論文。其中，他證明了中心極限定理（central limit theorem），這是概率論中討論隨機變數以正態分佈為極限的一組定理。這組定理是數理統計和誤差分析的理論基礎，指出了大量隨機變數之和近似服從正態分佈的條件。今天，中心極限定理被非正式地認為是概率論的首席定理。

誠然，中心極限定理問題歷史悠久，並非圖靈首先證明。早在1733年法國數學家棣莫弗（Abraham de Movire，1667-1754）就使用正態分佈去估計大量拋擲硬幣出現正面次數的分佈。1812年法國著名數學家拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace，1749-1827）在發表的鉅著 Théorie Analytique des Probabilités（“概率論的理論分析”）中拯救了這個默默無聞的理論，並擴充套件了棣莫弗的理論，指出二項分佈可用正態分佈逼近。但在當時也未引起應有的反響。直到19世紀末中心極限定理的重要性才被世人所知。1901年，俄國數學家裡雅普諾夫（1857-1918）用更普遍的隨機變數定義中心極限定理並在數學上進行了精確的證明。1922年林登伯格也證明過中心極限定理。

圖靈這篇簡潔證明中心極限定理的論文使他在不滿23歲時成為劍橋大學國王學院的研究員（fellow of King's College, Cambridge），或譯為國王學院院士。他曾興高采烈地述說當選那天的晚宴，與謝帕德院長、教師在高階餐桌上進餐後，在教師休息室玩紙牌。雖然他喝葡萄酒有些過量，結果還是贏了院長几先令，卻絲毫沒有誇耀自己學術成就之處。在院長看來，艾倫比其他搞數學的人，更能愉快地勝任。 這件事使捨本母校很高興，特放半天假以示慶祝。

（圖為1934年圖靈在劍橋）

關於圖靈機（1936）

1935年圖靈聽了劍橋大學組合拓撲學的先驅紐曼（Maxwell H. A. Newman，1897-1984）教授的講座，進一步把興趣明確為可判定問題（Decidability或者 Entscheidungsproblem後者為德文），即能否至少從原理上證明，用確定的方法或步驟可以判斷任何給定的數理命題。

因此1936年他的學術焦點是可計算性問題（Computability）。

為了回答可判定性問題，需要對“方法”加以定義，它不僅要精確，而且要令人信服。這正是需要圖靈來解決的問題。他分析了一個人能完成哪些“機械地”步驟，估計了實現某些事物的思考應該有多大的規模，以及用理論機器如何表示這種分析。於是他構想了圖靈機（Turing machine，縮寫為TM）的模型。

（圖為圖靈機模型）

那麼，什麼是圖靈機呢？簡單地說，它是一個邏輯機的通用模型。TM由一個處理器P、一個讀寫頭W/R和一個無限長的儲存帶M組成。P實際是有限狀態控制器，能使讀寫頭左移或右移，並對儲存帶進行修改或讀出。於是通過有限指令序列就能實現各種演算過程。

這個理論模型有什麼實際意義呢？圖靈證明，只有TM能解決的計算問題，實際計算機才能解決；如果TM不能解決的計算問題，則實際計算機也無法解決。TM的能力概括了數字計算機的計算能力，它能識別的語言屬於遞迴可列舉的集合，它能計算的問題稱為部分遞迴函式的整數函式。因此，圖靈機對計算機的一般結構、可實現性和侷限性都產生了深遠的影響。

圖靈在邏輯指令、智力活動和具體物理機器這三者之間建立了一致性，這是他的重要貢獻。他的“確定方法”（definite method），用現代語言說就是“演算法”。1936年4月他向紐曼教授展示了自己的研究成果。與此同時，美國邏輯學家邱奇（Alonzo Church，1903-1995）也得到類似的結論。

1936年5月28日圖靈完成了他的重要論文On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem（“論可計算數及其在判定問題上的應用”），對哥德爾1931年在證明和計算的限制結果作了重新論述，他用圖靈機的簡單形式代替了哥德爾的以通用算術為基礎的形式語言。圖靈證明了這樣的機器有能力解決任何可用一種演算法來表達的數學難題，但不是所有的難題。他的證明與當時希爾伯特及其所代表的哥廷根學派的流行觀點正好相反，即有一類數學問題是不可能通過有限過程得到解決的。

圖靈為了提及邱奇的工作，他把論文推遲到1936年8月才發表。那麼他們的工作有什麼區別呢？儘管他的證明比邱奇在λ演算方面的同等證明晚發表了幾個月，不過圖靈的方法更有創意，更易於理解和直觀。圖靈的通用機（universal machine）概念也是新穎而別具一格的。邱奇本人也讚賞他的工作，於是圖靈機的概念成為現代可計算性理論的基礎。今天，圖靈機還是計算理論研究的中心課題。

圖靈機概念也滿足了他早先對克里斯托弗•莫科姆閃現的智慧問題的迷戀。他的論文和他其他方面的工作一樣，總是能跨過傳統的界限，在思想與行動之間、在邏輯世界與物理世界之間架起一座橋樑。圖靈機純粹出於理論上的需要，但圖靈對各種實驗的強烈愛好使他在當時就對沿著這條思路實際製造一臺計算機的可能性深感興趣。

圖靈在這一階段進行的純數學研究，取得了長足的進步，曾獲得若干獎項。例如1935年的國王學院獎學金和1936年因概率論研究而獲得的史密斯獎金。他的母校又放半天假表示祝賀。