顛倒乾坤；及忘我之乘積題的分析

今日面試題：顛倒乾坤

在一棵二叉搜尋樹中，有兩個節點顛倒了順序。要求實現一個演算法，在不改變樹結構的前提下，恢復正確的二叉搜尋樹。給出一個空間為O(n)的實現很容易，那該如何給出一個空間O(1)的實現呢？

忘我之乘積分析

題目：

給你一個陣列A[1..n]，請你在O(n)的時間裡構造一個新的陣列B[1..n]，使得B[i]=A[1]*A[2]*...*A[n]/A[i]。你不能使用除法運算。

分析：

看到題目，不要緊張，要頭腦清晰，看穿面試官的本意，實際上，他是用除法公式，但又要求不用除法來迷惑你。

要求在不使用除法的情況下計算B[i]=A[0]*…*A[n]/A[i]，簡單變換一下形式，即可得到B[i]=A[0]*…*A[i-1]*A[i+1]*…*A[n]，一共n-1次乘法。每一個B[i]計算一遍，總的時間複雜度為O(n^2)。不符合題目要求，必須減少乘法的次數。如何減少乘法的次數呢？ 繼續分析，通過上面的變換，我們可以得到B[i]是由兩部分相乘得到的：

A[0]*…*A[i-1]  
A[i+1]*…*A[n]

先看第一部分，在計算B[i+1]的時候，是可以利用B[i]的第一部分結果的，只需要乘以A[i]即得到B[i+1]的第一部分。

第二部分同理，計算完A[i+1]*…*A[n]，再計算A[i]*A[i+1]*…*A[n]，只需要乘以A[i]即可。A[i]*A[i+1]*…*A[n]是B[i-1]的第二部分。

由此分析，構建兩個新的陣列：C和D（為了方便解釋，用了兩個陣列），

C[i] = A[0]*…*A[i-1] = C[i-1]*A[i-1]  
D[i] = A[i+1]*…*A[n] = D[i+1]*A[i+1}  

構建C和D都是O(n)的時間複雜度（C從前到後遍歷一遍陣列，D從後到前遍歷一邊陣列），然後，B[i] = C[i]*D[i]也是O(n)的時間複雜度。整體演算法的時間複雜度是O(n)。

題目到這解答完畢。

但是面試官的問題還沒有完，他們會繼續問，這個解法的空間是O(n)的，能夠空間O(1)的情況下實現麼？

首先看看一個只有5個數的陣列，A[1]，A[2]，A[3]，A[4]，A[5]。

首先從頭到尾遍歷：

B[1] = A[1]
B[2] = B[1]*A[2]
B[3] = B[2]*A[3]
B[4] = B[3]*A[4]
B[5] = B[4], 臨時變數 C=A[5]

然後從尾到頭遍歷：

B[4] = B[3]*C, C=C*A[4]
B[3] = B[2]*C, C=C*A[3]
B[2] = B[1]*C, C=C*A[2]
B[1] = C

通過這個小的例子，我們得到了演算法，然後可以推廣到任意多的元素。這個是面試中常用的技巧。

大家可以自己嘗試把演算法變成程式碼。

本文來自微信：待字閨中，2013-07-05釋出，原創@陳利人 ，歡迎大家繼續關注微信公眾賬號“待字閨中”。