相差甚遠；及Magic Index分析

今日面試題：相差甚遠

給定一個陣列，我們可以找到兩個不相交的、並且是連續的子陣列A和B，A中的數字和為sum(A), B中的元素和為sum(B)。找到這樣的A和B，滿足sum(A) - sum(B)的絕對值是最大的。

例如：
[2, -1 -2, 1, -4, 2, 8]劃分為A=[-1, -2, 1, -4], B=[2, 8]， 最大的值為16。

Magic Index 分析：
給定一個陣列A，其中有一個位置被稱為Magic Index，含義是：如果i是Magic Index，則A[i] = i。假設A中的元素遞增有序、且不重複，請給出方法，找到這個Magic Index。更進一步，當A中允許有重複的元素，該怎麼辦呢？

沒有重複元素的情況

一些同學在遇到這個題目的時候，往往會覺得比較簡單。掃描一遍，不就ok了麼？O(n)的。很簡單呀。可是，大家要注意到，還有一個條件沒有用：A中的元素是有序遞增的。這個條件，並不是放在這裡迷惑大家的，而是有更大的作用的。這個時候，該如何想呢？O(n)不是最好的方法，更好的是什麼呢？怎麼利用陣列有序呢？在有序的陣列中查詢一個滿足特定元素的條件，我們通常會想到二分查詢。 我們來回顧一下二分查詢，對於要查詢的目標t，我們首先與陣列中間的元素比較，如果t大於中間的元素，則在右半部分繼續查詢；如果t小於中間的元素，則在左半部分，繼續查詢。

那麼，我們的題目能夠利用上述的思想呢？我們來看一個具體的例子：

0    1    2    3    4    5    6
-10    -5    1    2    4    10    12

mid=3，A[mid] = 2，即A[mid] < mid。接下來，我們應該在哪一邊查詢呢？我們知道陣列的元素是遞增有序，且不重複的，也就是說，在A[mid]左邊的元素，比A[mid]都要小，沒有重複，意味著什麼呢？每向左移動一位，至少減1。所以，在mid左邊，不可能有一個i，A[i]=i的。如果有，根據前面的分析，我們知道A[mid] - A[i] >= mid - i, 如果A[i] = i，則，A[mid] >= mid, 這與事實A[mid] < mid相悖。所以，接下來，只能在右邊進行查詢。程式碼與二分查詢也很像。

有重複元素的情況

如果陣列A中，有重複元素，是什麼情況呢？經過前面的分析，我們知道，是否有重複的主要差別在，陣列的元素從右到左進行遞減，每次不一定至少是1了，有可能是0了。讓我們直觀的看一下影響吧。

0    1    2    3    4    5    6
-10    2    2    2    9    10    12

看上面的陣列，同樣A[mid] < mid。我們應該繼續查右邊麼？顯然，右邊並不存在Magic Index。查詢右邊，就會找不到這樣的Magic Index。此時，應該如何處理呢？我們無法確定，Magic Index是在左邊，還是在右邊了。那就兩邊都遞迴進行處理吧。

在這裡還有一個小技巧，我們就是要分別遞迴處理[0, mid - 1]和[mid + 1， end]（end是陣列長度-1）麼？我們看一個具體的例子：

0    1    2    3    4    5    6
-10    2    2    2    2    10    12

這個例子，當我們進行左半部分遞迴處理的時候，需要考慮的範圍是[0, 3]。可實際上，我們只需要考慮[0, 2]。原因是，陣列元素在mid=4的左邊的值都要小於或者等於A[mid]=2，所以最大的一個有可能是Magic Index的，就是index為A[mid]的情況。所以，這時右邊的邊界應該是min(mid - 1, A[mid])。

那麼，右邊的情況呢？如下例子：

0    1    2    3    4    5    6    
-10    2    2    2    9    10    12

此時，要在右半部分進行查詢，範圍一般是[5, 8]。但是，由於陣列有序，後面的值，一定是大於等於A[mid]=9的。所以，有可能是Magic Index的最小Index是9，也就是說右邊的遞迴，應該是從索引為9的位置開始。此例，就意味著，無需處理右邊了。

本文來自微信：待字閨中，2013-07-15釋出，原創@陳利人 ，歡迎大家繼續關注微信公眾賬號“待字閨中”。