須彌之鏡；及相差甚遠分析

謝工在GitChat發表於2013-07-22

今日面試題：一個都不能少

有k個有序的陣列，請找到一個最小的數字範圍。使得這k個有序陣列中，每個陣列都至少有一個數字在該範圍中。

例如：

1: 4, 10, 15, 24, 26
2: 0, 9, 12, 20
3: 5, 18, 22, 30

所得最小範圍為[20,24]，其中，20在2中，22在3中，24在1中。

相差甚遠面試題分析

原題

給定一個陣列，我們可以找到兩個不相交的、並且是連續的子陣列A和B，A中的數字和為sum(A), B中的元素和為sum(B)。找到這樣的A和B，滿足sum(A) - sum(B)的絕對值是最大的。 例如：[2, -1 -2, 1, -4, 2, 8]劃分為A=[-1, -2, 1, -4], B=[2, 8]， 最大的值為16

分析

如果沒有比較豐富的經驗，這個題目咋一看，有一種不明覺厲的感覺。但只要逐層分析，就可以看到，其實只要分析兩層就可以了。首先我們來看看題目有哪些要點（明確題意，有不清楚的，一定要澄清。）：

  1. 子陣列是不相交的

  2. 子陣列是連續的，這個有點多餘，但還是強調一下得好

然後題目的要求是，差的絕對值最大。那我們自然而然能夠想到：找到的兩個不相交的子陣列，一個值要很小，一個值要很大。這樣才能夠保證差的絕對值最大。那如何找到這樣的陣列呢？我們從不相交的這個條件入手。看題目中例子（從簡單的例子出發，發現解決方案，是面試中常用技巧。切記！）：

0    1    2    3    4    5    6
2    -1    -2    1    4    2    8

看上面的表格，如果兩個子陣列不想交，我們有六個位置，作為劃分的備選，0和1之間、1和2之間、2和3之間，...，直到5和6之間。這六個位置，都可以將陣列劃分為兩部分。我們設定，陣列長度為n，i將資料劃分為兩部分分別為 [0,i-1]和[i,n-1]。都是兩邊包含的集合。i是從1到n-1的。

對於任意的i，我們得到了兩部分[0, i-1]和[i, n-1]。接下來，就是在這兩部分中，找到一個和最小的子陣列A，以及和最大的子陣列B。那麼A-B的絕對值，就是i這個劃分下，滿足條件的兩個陣列的差的最大值。對於，所有的i而言，這個絕對值最大時的A和B就是我們要找到的。

思路通順了，接下來要確定，找到在i處劃分，和最大以及和最小的子陣列的方法。這裡，就要使用到，我們前幾天分享的動態規劃的思想。那篇文章，大家好好閱讀分析了麼。相信一定能夠給大家帶來很多的啟發。回到這個題目，我們單獨的考慮，給定一個陣列，求和最大的子陣列以及和最小的子陣列。

先分析和最大的子陣列，這個問題，是比較經典的問題了，但是我們這裡要處理的是，求得每一個i左側的最大連續子陣列。作如下分析，假設陣列為X, 假設max_until[i]表示，以i位置結尾的連續子陣列的最大和。max_until[i]和max_until[i-1]是什麼關係呢？

  1. 如果X[i] + max_until[i - 1] > max_until[i - 1] and X[i] + max_until[i- 1] > X[i]。那麼X[i]應該加入到連續子陣列中，max_until[i] = max_until[i-1] + X[i].

  2. 否則max_until[i] = X[i]，連續子陣列只有一個元素。

但是，我們要的並不是以i結尾的子陣列，儘管給的例子中是這樣的，我們要的是i之前的所有連續子陣列中，和最大的。並不一定包括i。要如何處理呢？我們再開闢子陣列max_left[i]表示[0,i]中連續子陣列的最大值。那這個值要如何求得呢？我們在遍歷陣列，求得max_until[i]的時候，max_left[i]只需要在max_until[i]和此前儲存的最大值裡取最大的即可。也就是一次遍歷，就可以完全求得max_until陣列和max_left陣列。同理可以求得min_until以及min_left陣列。

這是處理的劃分的左半部分。那麼右半部分呢？

右半部分的思路也是一樣的，只不過，我們在遍歷陣列的時候，需要從右向左進行遍歷。

總結整個方法的流程如下：

  1. 從左向右遍歷陣列，計算max_left和min_left陣列，O(n)時間複雜度

  2. 從右向左遍歷陣列，計算max_right和min_right陣列，O(n)時間複雜度

  3. 然後對於每一個i，i從1開始到n-1,計算max_left[i - 1] - min_right[i], max_right[i] - min_left[i - 1]。選取絕對值最大的。

方法的整體空間複雜度為O(n),時間複雜度也是O(n)。

總結

這個題目，其實是採用動態規劃解決最大連續子陣列和問題的變種，又多了一層思考。面試者在遇到一個新的題目的時候，不要慌亂，對問題進行仔細分析，進而對其進行分解，分解為自己熟悉的問題。那問題也就解決了。

本文來自微信：待字閨中，2013-07-16釋出，原創@陳利人 ，歡迎大家繼續關注微信公眾賬號“待字閨中”。

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