色子玄機；及千王之王分析

今日面試題：色子玄機

有兩個色子，一個是正常的，六面分別1-6的數字；另一個六面都是空白的。現在有0-6的數字，請給出一個方案，將0-6中的任意數字塗在空白的色子上，使得當同時扔兩個色子時，以相等的概率出現某一個數字（這個數字是兩個色子上數字的和），比如，如果一個色子是1，另一個色子是2，則出現的數字是3。依次類推。

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千王之王分析：

原題

52張牌，四張A，隨機打亂後問，從左到右1張一張翻直到出現第一張A，請問平均要翻幾張牌？

第一種分析

摸到第一張A之前的都是其他的牌，那麼，之前會有多少種可能呢？ 之前可能會有0張，1張。。。。48張。考慮4張A在牌中的位置，他們把其他牌分成了5份（四個點把直線分成五段）。每一份的個數從0-48不等，完全隨機的情況下，每份的平均長度為48/5=9.6，摸完這9.6張後，接下來的就是第一張A，故平均需要摸9.6+1=10.6張，即11張。

另一種方法

通常情況下，設n張牌要翻f(n)次，則f(4)=1。翻第一張牌分“翻到”和“沒翻到”兩種情況：若翻到，則只翻了1次；若沒翻到，則要翻1+f(n-1)次。故f(n) = 1*(4/n) + [1+f(n-1)]*(n-4)/n。可得f(n)=(n+1)/5，f(52)= 53/5。

假設n張牌要翻f(n)次。當有4張牌的時候，都是A。顯然f(4)=1。當n>4的時候，f(n)是什麼呢？從第一張開始翻，有兩種情況：

• 如果翻到A，則1次，概率是4/n
• 如果沒有翻到，則需要1+f(n-1)次，概率是(n-4)/n

則得到遞迴式：f(n)= 1 × 4/n + (1+f(n)) × (n-4)/n；當然，在我們的題目中，n=52。如何解這個遞迴式呢？

n取值	f(n)
4	1
5	f(5)=4/5+2/5=6/5=(5 + 1)/5
6	f(6)=4/6+(1 + 6/5)×2/6=7/5=(6 + 1)/5
7	f(7)=4/7+(1 + 7/5)×3/7=8/5=(7 + 1)/5
…
n	f(n)=(n+1)/5

遞迴證明，由大家完成。

小應用

玩過三國殺的朋友都知道，黃蓋的技能是苦肉，苦肉技能每掉一次血可以多模2張牌(前提是沒失血過多)。 現在假如你是黃蓋， 這輪底牌還剩11張，你通過記牌知道底牌中至少還有2個桃，你還有3滴血，請問你應不應該苦肉到底，拼一把（到剩一滴血）. 應用之前的分析，到第一個桃，平均需要(11-2)/(2+1) +1=4. 4張牌黃蓋只需掉2滴血，還能剩一滴血，然後摸到桃還能回血， 看起來還是很合算的。

本文來自微信：待字閨中，2013-07-25釋出，原創@陳利人 ，歡迎大家繼續關注微信公眾賬號“待字閨中”。