千王之王；及繩子的長度分析

今日面試題：千王之王

52張牌，四張A，隨機打亂後問，從左到右一張一張翻直到出現第一張A，請問平均要翻幾張牌？

===========================

繩子的長度分析：

分析：

這題隨機變數看似3個，但是其實兩個就可以了。設在X，Y處把棍子折斷，X，Y都在[0,1]區間內均勻分佈。

我們不妨設X< Y,那麼三段的長度分別為X,Y-X,1-Y (米）。 如果X是最短的，那麼滿足

X< Y-X

X

這裡，主要是由給出的條件，分別給出X,Y的上下界。我們先對Y積分，Y的上下界由1），2）很容易給出，那麼X的呢？一般可畫圖出 X，Y的座標圖，以及邊界條件1）2），我們可知X最小為0，當1），2）兩條曲線相交時取到最大值1/3. 計算積分公式得出1/54. 這裡我們假定了X，Y-X，1-Y中，X最小。Y-X最小以及1-Y最小的情形類似跟這種情況對稱，變化下符號就一樣了。 另外Y>X情況也是一樣，所以，我們加總這六種情況，得出期望值為: 6*1/54=1/9.

計算最大的一段的值類似， 可先假定一組條件，然後根據對稱性，簡單求和。

我們還是先假定X< Y 然後X為其中最大段，那麼

X >Y-X

X >1-Y

這種情況，畫出圖來，容易確定積分上限界限，從而列出公式：

等於1/54 + 1/12 ,同樣，根據對稱性，乘以6，最終得11/18.

有簡單的方法嗎？

如果很熟悉一些幾何的特性的話，畫出座標圖，求X期望可化為求質心，應用求質心的公式可快速求解，感興趣的朋友可嘗試下。

本文來自微信：待字閨中，2013-07-24釋出，原創@陳利人 ，歡迎大家繼續關注微信公眾賬號“待字閨中”。