Google賽馬；及最大矩形分析

今日面試題：Google賽馬

想必田忌賽馬的故事，大家都耳熟能詳。但是，大家知道Goolge的童鞋們是怎麼賽馬的麼？不過，首先，大家要先嚐試一下：有25匹馬，每次只能五匹一起跑，那麼最少跑幾次，才能確定前三甲呢？

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最大矩形分析

原題

在一個點陣圖中找面積最大的白色矩形：給你一個NxN的黑白點陣圖，找一個面積最大的全白色的矩形。注意了，是一個矩形，不是任意一個白色相連的區域。你的演算法能夠達到的最好的時間複雜度是多少呢？

分析

為了方便進行分析，我們假設黑色位置都是0，白色的位置都是1.題目的問題就轉化為，找到一個最大的矩形，其中所有的元素都是1.

遇到這樣的題目，該如何分析呢？這是一個矩形，是二維，是否是由一維的某些問題擴充套件而來的呢？一維的問題的解法，是否可以擴充套件到二維呢？我們看下面的題目：

在柱狀圖中找最大的矩形：給一組非負的整數來表示一個柱狀圖，設計一個演算法找到最大面積的能適合到柱狀圖內的矩形。比如，對與這組數，1 2 3 4 1 ，有兩種可能的方案，一種是適合到 2 3 4 內的矩形，面積是 2*3；另一種是適合到 3 4 內的矩形，面積是 3*2。你覺得能有O(n)演算法嗎？

上面的題目，我們在微博上都討論過的。大家還記得，一維的時候，是怎麼樣的解法麼？思路如下：

一個線性演算法是用堆疊來儲存當前可能的矩形（高度和起始位置）。從左到右掃描，對一個元素，如果 a）大於棧頂元素， push； b）小於的話，pop所有的大於它的元素，計算面積，更新最大值。這時如果堆疊空，push一個新的元素，高度等於當前元素，起始位置為0；否則，push當前元素高度和棧頂的起始位置。

這是一個很巧妙的解法，是否能夠應用到二維的情況呢？在微博中，我們簡短的給出了一個思路。下面，我們在這裡詳細討論，針對如下例子，有矩陣A：

1	1	0	0	1	0
0	1	1	1	1	1
1	1	1	1	1	0
0	0	1	1	0	0

上面的這個矩陣，該如何轉化為一維的情況處理呢？最直接的思路如下：

第一行作為一維的情況處理；

第一行、第二行，對應列相加，生成一個新的陣列，然後應用一維的處理情況；

第一行、第二行、第三行，對應列相加，生成一個新的陣列，然後應用一維的處理情況；

...直到整個矩陣都包括在內；

第二行作為一維的情況處理；

第二行、第三行，對應列相加，生成一個新的陣列，然後應用一維的處理情況；

...一次類推

上面的思路是可行的，但是時間複雜度是n^3的。如何進一步改進呢？思路也是從上面的過程中得到的。

生成新的矩陣C,C[i][j]表示第j列，從第i個元素開始，包括第i個元素，向上數，直到遇到0時，1的個數。則C為：

1	1	0	0	1	0
0	2	1	1	2	1
1	3	2	2	3	0
0	0	3	3	0	0

上面這個矩陣的構造，遍歷一邊A的全部元素即可。n^2的時間複雜度。這個矩陣的最大作用，就是將上面思路中，跨幾行考慮的情況，都變為一行了。時間複雜度降了一個級別，每一行，應用一維處理處理的情況，就可以得到最終的結果。

將上面斜體的描述轉換為如下步驟：(h, i)，h表示C[i][j]的大小，可以理解為矩形的高度，i表示起始位置，第三行為例：

i	C[i]	棧操作	最大值	棧內容
0	1	push (1,0)		(1,0)
1	3	push (3,1)		(3,1)(1,0)
2	2	pop (3,1),push (2,1)	(2-1)*3=3	(2,1)(1,0)
3	2	什麼都不做		(2,1)(1,0)
4	3	push(3,4)		(3,4)(2,1)(1,0)
5	0	pop(3,4)	(5-4)*3=3	(2,1)(1,0)
5	0	pop(2,1)	(5-1)*2=8	(1,0)
5	0	pop(1,0)	(5-0)*1=5

則得到這一行的最大值為8。

總結演算法過程如下：

初始(h,0)，入棧；

遍歷後續元素：

• 如果h > h_top, 則入棧；

• 如果h = h_top, 則不進行任何操作；

• 如果h < h_top, 出棧，直到棧頂元素的高度小於h，每次出棧，更新最大值(i - i_pop)*h_pop > max ? (i - i_pop)*h_pop : max；此時如果h>h_top,則push (h, i_lastpop)，如果棧為空，則push (h, 0).

直到元素遍歷完畢

【分析完畢】

本文來自微信：待字閨中，2013-08-01釋出，原創@陳利人 ，歡迎大家繼續關注微信公眾賬號“待字閨中”。 【分析完畢】