第n杯水；及重出江湖分析

紫鳳發表於2013-08-02

今日面試題：第n杯水

有一座金字塔，從上到下，第一層有一個杯子、第二層有兩個杯子，依次類推。對杯子進行編號，有如下的形狀：

1
2 3
4 5 6

每個杯子的容量為C升，從塔頂倒下L升水，當1號杯子滿了之後，會等量溢位到2號和3號杯子。當2號和3號滿了，2號溢位到4號和5號，3號溢位到5號和6號，注意5號接受來自兩個杯子的水。依次類推。給定C和L，請問，第n杯裡有多少水。

重出江湖分析

原題

n個色子，每個色子m面，每一面的值分別是1-m。你將n個色子同時拋，落地後將所有朝上面的數字加起來，記為sum。給定一個數字x，如果sum>x，則你贏。給定n，m，x，求你贏的概率。

  • 1<=n<=100
  • 1<=m<=10
  • m<=x< n*m

分析

這個題目的描述，是將具體的問題一般化了。掌握了，這個問題的分析，就可以對這類問題通吃。一個具體的情況是什麼呢？兩個色子，每個色子六面，同時拋，求朝上數字和大於某一個值的概率。這個情況比較簡單，兩個色子同時拋，一共36種情況，注意這裡有的和是相同的。此時，最少可以通過窮舉的方法，得到答案。但是本題中的意思，顯然是無法通過窮舉呢？那該如何分析呢？

n個色子，每個色子m面。則一共有m^n中情況（類比上面分析的36種情況）。在這些裡面，有多少個和是大於x的呢？假設，f(n,x)表示n個色子，所有朝上的數字和是x的情況數量。對於某一個色子，每一面朝上的概率是1/m。假設這個色子的k面朝上，1<=k<=m，則f(n,x) = sum{f(n - 1, x - k)} 1<=k<=m。遞迴的終止條件是，當只有一個色子的時候，f(1,k) = 1, 1<=k<=m，其他都是0

則最終的概率為(f(n, x + 1) + … + f(n, m*n)) / m^n。每一個大於x的和的可能情況數量之和除以總的情況數量。

以2個6面色子為例，驗證上面的公式。

和 情況數
2 1
3 2
4 3
5 4
6 5
7 6
8 5
9 4
10 3
11 2
12 1

取和大於10的概率，即2/36+1/36 = 3/36 = 1/12。

根據上面的公式，(f(2, 11) + f(2, 12)) / 12

  • f(2, 11) = f(1, 10) + f(1, 9) + f(1, 8) + f(1, 7) + f(1, 6) + f(1, 6) = 2
  • f(2, 12) = f(1, 11) + f(1, 10) + f(1, 9) + f(1, 8) + f(1, 7) + f(1, 6) = 1

則概率為3/12，與窮舉方法一致。

【分析完畢】

本文來自微信：待字閨中，2013-07-30釋出，原創@陳利人 ，歡迎大家繼續關注微信公眾賬號“待字閨中”。

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