逆序；及巧妙變換分析

今日面試題：逆序

一個整數，可以表示為二進位制的形式，請給出儘可能多的方法對二進位制進行逆序操作。 例如：10000110 11011000的逆序為 00011011 01100001

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巧妙變換分析

原題

輸入陣列[a1,a2,...,an,b1,b2,...,bn]，建構函式，使得輸出為，[a1,b1,a2,b2,...,an,bn]，注意：方法要是in-place的。

分析

這個題目，並不是一個有難度的題目。描述很簡單，儘管要求了in-place的方法，解決的方法還是很多的。在下面介紹方法的時候，我們都以[a1,a2,a3,a4,b1,b2,b3,b4]為例。

in-place

我們經常在面試題目中看到這個詞，這個到底是什麼意思呢？我們看看wiki中的說法：In computer science, an in-place algorithm (or in Latin in situ) is an algorithm which transforms input using a data structure with a small, constant amount of extra storage space. 所以，如果這個題目的解法，需要O(n)的空間。則不是in-place的演算法，in-place對應的是out-of-place。

最容易想到的方法

通過觀察輸入輸出的格式，直接通過將b1進行交換，直至目標的位置，其他元素也如此操作。直到完成變換。如下的過程：

a1

a2

a3

a4

b1

b2

b3

b4

確定b1的位置，b1要和前面3個元素依次交換。

a1

b1

a2

a3

a4

b2

b3

b4

確定b2的位置，b2要和前面的2個元素一次交換，同樣為了保證in-place。注意交換次數少了一次。

a1

b1

a2

b2

a3

a4

b3

b4

依次確定b3和b4的位置，b4是最後的元素，不需進行交換，b3需要交換一次。

a1

b1

a2

b2

a3

b3

a4

b4

通過上面的分析，則整體的交換次數，3+2+1=6，不失一般性(n-1)+…+1，時間複雜度O(n^2)。

特別的方法

同樣針對上面的例子： 第一步：交換最中間的一對元素，得到

a1

a2

a3

b1

a4

b2

b3

b4

第二步：交換最中間的兩對元素，得到

a1

a2

b1

a3

b2

a4

b3

b4

第三步：交換最中間的三對元素，得到

a1

b1

a2

b2

a3

b3

a4

b4

完畢，得到結果。

在上面的交換中，交換的次數分別為1,2,3，推而廣之，1,…,n-1，則時間複雜度仍舊是O(n^2)的。

in-place的O(n)方法

這個問題，是存在O(n)時間複雜度的in-place演算法的。但是，並不是很好理解。這裡引用@xiaxia同學的說明，他發表在水木上。希望同學們能夠理解：

首先，對2n=3^k - 1的情況下，k是整數。這時候可以通過幾個cyclic shift解決。

每個cycle的起始位置是3^i, i=0,1,...,k-1. cycle裡面元素下標的符合這樣的模式(3^i×2^j) mod (2n+1) 舉例說明：k=2時，2n=8.

假設一個數列是[1，2，3，4，5，6，7，8]

那麼這幾個cycle是

i=0, 3^i=1, [1,2,4,8,16,32] mod 9 = [1,2,4,8,7,5]

i=1， 3^i=3, [3,6] mod 9 = [3,6]

顯然這些cycle都是閉合的，比如對[1,2,4,8,7,5]， 5×2 mod 9 = 1， 對[3,6] 6×2 mod 9 = 3

下面做這兩個cyclic shift

做完第一個後：

[1，2，3，4，5，6，7，8] -> [5，1，3，2，7，6，8，4]

做完第二個後：

[5，1，3，2，7，6，8，4] -> [5，1，6，2，7，3，8，4]

搞定。

其次對2n！=3^k - 1的情況下，找一個最大的m，m滿足2m=3^k - 1並且m 比如假設n=6，那麼m=4.

假設一個素列A=[1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12]

首先A[m+1,...,n+m]做一個距離為m的右迴圈。

也就是[5,6,7,8,9,10]做一個距離為m的右迴圈，變成[7,8,9,10,5,6]

做完這個迴圈，[1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12]->[1，2，3，4，7，8，9，10，5, 6, 11，12]

然後對前2m項，做1的操作，[1，2，3，4，7，8，9，10，5, 6, 11，12]->[7，1，8，2，9，3，10，4，5, 6, 11，12]遞迴操作。

水木連結：

http://www.newsmth.net/bbscon.php?bid=1032&id=47005

論文連結：

http://vdisk.weibo.com/s/yXlrslXU0qvF-

【分析完畢】

本文來自微信：待字閨中，2013-08-05釋出，原創@陳利人 ，歡迎大家繼續關注微信公眾賬號“待字閨中”。