修理柵欄；及排列木樁分析

今日面試題：修理柵欄

為了修理柵欄，需要將很長的木板鋸為N塊，長度分別為L1,L2...LN。鋸斷一塊兒木板，需要一定的開銷，開銷記為木板的長度。例如，長度為21的木板，鋸為三塊，長度分別為5，8，8。如下按照如下的順序據斷：

1. 首先鋸斷21為13和8兩塊兒，開銷為21

2. 然後鋸斷13為8和5兩塊兒，開銷為13

總的開銷為34。但也可以按照如下的順序：

1. 首先鋸斷21為16和5兩塊兒，開銷為21

2. 然後鋸斷16為8和8兩塊兒，開銷為16

總的開銷為37。比34要大。

問題是，給定N，以及每一塊兒的長度。如何保證最小的開銷。儘量採用高效的方法。

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排列木樁

原題

有N個木樁，高度分別為1到N。你現在要將木樁排列為一行，當你從左邊看的時候，只看到L個木樁(因為，一些高的木樁會擋住矮的木樁)；從右邊看時，只看到R個木樁。給定N、L、R，你該如何排列木樁呢？

例1：N=3,L=2,R=1，可行的排列方案只有{2,1,3}。

例2：N=3,L=2,R=2，可行的排列方案有{1,3,2}{2,3,1}

分析

開始排列木樁的時候，應該如何選取第一根木樁呢？一個很直接的選擇就是先確定最高的木樁的位置，也就是N。因為，無論從左到右，還是從右到左看，都要到最高停下來。

確定了最高的木樁之後，無論從哪一邊看，都至少有一個木樁。接下來，該如何處理？想必大家已經想到了，開始遞迴唄。左右兩邊，也同樣是先確定最高的木樁的位置，依次遞迴下去。

構造的方法，是比較簡單地。但，往往這個時候面試題並沒有結束。面試官，會進一步問：給定NLR，有多少種排列木樁的方法呢？從一個構造問題，轉變為一個計數的問題。該如何做呢？方法仍舊是遞迴，我們嘗試寫出遞迴表示式。

假設，b(N,L,R)表示排列方案的總數。f(N, L)表示N個木樁，排列得到從左邊能夠看到L個木樁的方案總數。我們從f的遞迴形式入手分析。

首先，f(N,N)=1。從左到右，從低到高排列，只有一個方案。

然後，f(N,M)=0,當N< M時。顯而易見。

其次，f(N,1)=(N-1)!。當只看到一個木樁的時候，即最高的木樁排在最左邊，其他的木樁無論怎麼排列都可以。

再次，假設最高的木樁放在從左邊開始的第k個位置，則，我們要在剩下的N-1個木樁裡面，選取k-1個木樁放在最高木樁的左邊，並且，找到能看到L-1個木樁的方案數(因為最高的木樁一定能看見，所以是L-1個)，此時剩下的N-K個木樁，可以任意排列，得到遞迴表示式如下：

f(N, L) = sum_{L<=k<=N} (N-1 選擇 k-1) * f(k-1, L-1) * (N-k)!

這個式子，是僅僅考慮了總左邊看到L個柱子的情況，再需要考慮，從右邊看，有R根柱子的方案呢？其實很簡單了，剩下的N-k個柱子，不要任意排列，要保證從右邊能夠看到R-1個柱子即可。所得遞迴式如下：

b(N,L,R) = sum_{L<=k<=N-R+1} (N-1 選擇 k-1) * f(k-1, L-1) * f(N-k,R-1)

如何？並不是很難的題目，只要抓住從哪根木樁開始即可。

其實，這個題目從最矮的木樁開始，也可以寫出漂亮、而且更簡單遞迴表示式的。簡單提示：

* 何時能夠看到最矮的木樁？

* 看到了如何？

* 看不到，又如何？

【分析完畢】

本文來自微信：待字閨中，2013-08-18釋出，原創@陳利人 ，歡迎大家繼續關注微信公眾賬號“待字閨中”。