消失的數字；及格點數目分析

今日面試題：消失的數字

從1到n，n個數字，每個數字只出現一次。現在，隨機拿走一個數字，請給出方法，找到這個數字。

如果隨機拿走兩個數字呢？

如果隨機拿走k個數字呢？

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格點數目分析

原題

給定平面上的兩個格點P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，線上段P1P2上，除P1、P2外，一共有多少個格點？格點定義為x和y都是整數的點。

分析

這是一個簡單的題目，方法比較多了，比如，首先求的直線的方程式：y=ax+b。然後在x軸，從x1+1開始，到x2-1結束，將每一個整數帶入上面的方程式，得到y值。如果y滿足y1

那麼有沒有更快的方法呢？這個題目實際上是求|x1-x2|和|y1-y2|的最大公約數，格點數目就是最大公約數減取1。大家可以畫畫圖，驗證這個方法。最好是畫一個棋盤。

大家還記得最大公約數是怎麼計算的麼？輾轉相除法。設a和b的最大公約數為gcd(a,b)，則gcd(a,b) = gcd(b, a%b)。公式比較簡單，改如何分析時間複雜度呢？是否更快呢？

我們假設a>b，則有如下的過程

gcd(a, b) = gcd(b, a%b) = gcd(a%b, b % (a % b)) …

一直遞迴到結束，gcd(x, 0) = x。

當b>a/2時，a % b = a - b < a / 2

當b<a/2時，a % b < b < a / 2

每一次新的遞迴，第一個引數都要小於原來的一半，所以，估計其時間複雜度在O(log max(a,b))以內，這裡的a和b分別為|x1-x2|和|y1-y2|。比線性的解決方案要快。

【分析完畢】

本文來自微信：待字閨中，2013-08-22釋出，原創@陳利人 ，歡迎大家繼續關注微信公眾賬號“待字閨中”。