此起彼伏；及燈分析

今日面試題：此起彼伏

有這樣一個陣列A，大小為n，相鄰元素差的絕對值都是1.如：

A={4,5,6,5,6,7,8,9,10,9}。

現在，給定A和目標整數t，請找到t在A中的位置。除了依次遍歷，還有更好的方法麼？

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燈分析

原題

有100盞燈，依次編號1-100，初始都是關著的。第1次遍歷，開啟全部的燈；第2次遍歷，關掉第2盞、第4盞等被2整除的燈；第3次開啟被3整除的燈；第i次，對被i整除的燈做如下操作

• 如果燈開著，就關掉

• 如果燈關著，就開啟

如此交替進行，直到100次遍歷完畢，請問，還有多少盞燈亮著。

分析

這個題目比較好玩兒，路子走對了，很簡單。想不對，方法就不是那麼美。

例如，方向不對的話，就按照題目的意思，一遍又一遍的遍歷，直到結束，時間複雜度是O(n^2)的。也能夠解決問題，但是複雜了。

那麼怎麼辦呢？上面的遍歷的做法，是橫向的思路，現在我們縱向思考。一盞燈，會在那幾次被操作。例如編號為100的燈：

• 第1次能夠操作，開啟

• 第2次能夠操作，關閉

• 第4次能夠操作，開啟

• 第5次能夠操作，關閉

• 第10次能夠操作，開啟

• 第20次能偶操作，關閉

• 第25次能夠操作，開啟

• 第50次能夠操作，關閉

• 第100次能偶操作，開啟

最終編號為100的燈是開啟的。再來看編號為70這盞燈：

• 第1次能夠操作，開啟

• 第2次能夠操作，關閉

• 第35次能夠操作，開啟

• 第70次能夠操作，關閉

最終編號為70的燈關閉著。

通過上面兩個例子，我們會發現，1,2,4,5等都是能夠整除100；1,2,35,70都能夠整除70。 所以，編號為n的燈，有多少個因數，就有會被操作多少次。很顯然，如果是偶數次，則燈一定是關著的。 那什麼情況下，操作會是奇數次呢？一個數，每次分解，都是兩個數相乘，只有當這兩個數相同的時候，才會是偶數次。 所以，最終會亮著的燈，都能夠開平方，得到一個正整數：1,4,9,16,25,36,49,64,81,100.

【分析完畢】

本文來自微信：待字閨中，2013-08-30釋出，原創@陳利人 ，歡迎大家繼續關注微信公眾賬號“待字閨中”。