燈；及陣列統計分析

今日面試題：燈

有100盞燈，依次編號1-100，初始都是關著的。第1次遍歷，開啟全部的燈；第2次遍歷，關掉第2盞、第4盞等被2整除的燈；第3次開啟被3整除的燈；第i次，對被i整除的燈做如下操作

• 如果燈開著，就關掉

• 如果燈關著，就開啟

如此交替進行，知道100次遍歷完畢，請問，還有多少盞燈亮著。

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陣列統計分析

原題

給定陣列A，大小為n，陣列元素為1到n的數字，不過有的數字出現了多次，有的數字沒有出現。請給出演算法和程式，統計哪些數字沒有出現，哪些數字出現了多少次。能夠在O(n)的時間複雜度，O(1)的空間複雜度要求下完成麼？

分析

這個題目，是有一定技巧的。技巧是需要慢慢積累，待經驗多了之後，可以靈感或者直覺，就產生了技巧。如果不知道技巧，那該怎麼辦呢？ 在開始分析之前，說明兩個問題：

• 原陣列是沒有排序的。如果排序了，很簡單的。

• O(1)的空間含義，可以使用變數，但不能開闢陣列或者map等來計數。

這個題目，很直接的解法就是兩層遍歷，O(n^2)的複雜度，O(1)的空間。空間滿足了，但是時間沒有。 很多類似的題目，都會用XOR的方法，大家仔細想一下，這個題目，可以麼？或者這個題目和可以用XOR的題目的差異在哪兒？最直接的就是，每一個數字的重複的次數是不同的。

還有就是以空間換時間的方法，例如用hash map或者陣列來計數。時間滿足了，但是空間沒有滿足。 那怎樣才能有時間複雜度O(n)，空間複雜度O(1)的演算法呢？不能開闢新的空間，那麼只剩下，重複利用陣列A。那麼該如何利用陣列A呢？

首先，我們介紹一種三次遍歷陣列的方法,我們都考慮陣列從0開始：

• 第一次遍歷：對於每一個A[i] = A[i] * n

• 第二次遍歷：對於每一個i，A[A[i]/n]++

• 第三次遍歷：對於每一個i，A[i] % n就是出現次數

A[i]應該出現在A中的A[i]位置，乘以n、再除以n，很容易的來回變換；第二次遍歷，對於A[i]本來所在的位置不斷增1，但絕對不對超出n的，那每一個i出現的次數，就是A[i]對n取餘。

還有一種兩次遍歷的方法，也是上面的思路：題目中陣列是1到n，為了方便演算法考慮，以及陣列儲存方便，我們考慮0-n-1，結果是相同的。 考慮A[i]，現在位置是i，如果採用A來計數，它的位置應該是A[i] % n，找到計數位置，該如何處理這個位置呢？加1麼？顯然不可以，這裡有一個技巧，就是加n，有兩個原因

• 加n可以保證A[i] % n是不變的

• A陣列，最後每一個元素表示為A[i] = x + k*n，其中x

上面的思路，轉換為程式碼如下：

【分析完畢】

本文來自微信：待字閨中，2013-08-29釋出，原創@陳利人 ，歡迎大家繼續關注微信公眾賬號“待字閨中”。