找數字續；及缺失的數字分析

今日面試題：找數字續

一個陣列A，數字出現的情況，只有以下三種：

1. 一些數字只出現一次

2. 一些數字出現兩次

3. 只有一個數字出現三次

請給出方法，找到出現三次的數字h

缺失的數字分析

原題

給定一個無序的整數陣列，怎麼找到第一個大於0，並且不在此陣列的整數。比如[1,2,0] 返回 3, [3,4,-1,1] 返回 2。最好能O(1)空間和O(n)時間。

分析

首先陣列是無序的，找到第一個大於0且不在陣列中的元素，就是要找到大於0且不在陣列中的最小的整數。要怎麼處理呢？要找到最小的，不妨嘗試從小到 大排序，然後從1開始，查詢是否在陣列中，可以利用二分查詢。這樣整體的時間複雜度是O(nlogn)，空間複雜度是O(1)。

離題目的要求，還差一些。如何改進呢？針對排序好的陣列，我們做如下的觀察：

• 當缺失的數字為1的時候，A[0]<=0, A[1] != 1

• 當缺失的數字為2的時候，A[0]<=0, A[1] = 1, A[2] != 2

• 當缺失的數字為3的時候，A[0]<=0, A[1] = 1, A[2] = 2, A[3] != 3

通過上面的觀察，可以發現，其實並不需要整個陣列是有序的，只需要讓陣列中的0

1. 如果A[i]=n，則continue；

2. 如果A[i]=A[A[i]]，則continue；

3. 如果0<A[i]<n，那麼可以還原，則swap(A[i], A[A[i]]),然後跳轉到步驟2

然後，陣列中如果存在0

• 從1開始遍歷，如果A[i]!=i，則i就是要找的數

• 如果遍歷完，沒有找到，則說明i從[1,n-1]，都有A[i]=i，那麼這個時候就看A[0]，如果A[0]是n，則返回n+1，如果A[0]不是n，則返回n，即可。

上面演算法的時間複雜度是O(n)麼？有的同學會想，在swap之後，仍然到第2步，可能還會出現交換，所以時間複雜度要高於O(n)。但實際上，swap之後，是會發生再次的交換，但我們可以保證，每一次交換，都會使得一個數字還原，即A[i]=i，再一次交換，會讓一個新的數字還原。 假設陣列中，可以還原的數字個數為k，則需要交換k次，k最多為n-1。這裡要很小心，因為總的交換次數是k，並不是對於每一個元素，都會產生k次交換。 如果是後者，總的時間複雜度就是O(kn)了，但因為總的交換次數是k，所以總的時間複雜度是O(n+k)，就是O(n)。

【分析完畢】

本文來自微信：待字閨中，2013-09-11釋出，原創@陳利人 ，歡迎大家繼續關注微信公眾賬號“待字閨中”。