《思考的樂趣：matrix67數學筆記》是網上著名數學狂人matrix67的作品，也是他為不那麼喜歡數學的人準備的數學禮物。想要了解他以及他這本書的同學，請點這裡

接下來為大家帶來第一個樣章。

第2章 數學之美

在數學發展的過程中，提出新的數學問題，開創新的數學領域，很多時候其最初的動機並不是解釋生活中的現象，而是因為它本身的美妙。數學世界裡究竟有什麼精彩之處，讓數學家如此瘋狂？

2.1讓你立刻愛上數學的8個算術遊戲

文科背景的朋友們經常會問我一個問題：數學到底哪裡有趣了，數學之美又在哪裡？此時，我通常會講一些簡單而又深刻的算術遊戲，讓每一個只會算術的人都能或多或少體會到一些數學的美妙。如果你從小就被數學考試折磨，對數學一點好感都沒有的話，相信這一節文字會改變你的看法。

1.數字黑洞

任意選一個四位數（數字不能全相同），把所有數字從大到小排列，再把所有數字從小到大排列，用前者減去後者得到一個新的數。重複對新得到的數進行上述操作，7步以內必然會得到6174。例如，選擇四位數8080： 8800-0088=8712
8721-1278=7443
7443-3447=3996
9963-3699=6264
6642-2466=4176
7641-1467=6174
7641-1467=6174 ……
6174這個“黑洞”就叫做Kaprekar常數。對於三位數，也有一個數字黑洞——495。

2.特殊乘法的速算

如果兩個兩位數的十位相同，個位數相加為10，那麼你可以立即說出這兩個數的乘積。如果把這兩個數分別寫作AB和AC，那麼它們的乘積前兩位就是A和A+1的乘積，後兩位就是B和C的乘積。 比如，47和43的十位數相同，個位數之和為10，因而它們乘積的前兩位就是4×（4+1）=20，後兩位就是7×3=21 。也就是說，47×43=2021。
類似地，61×69=4209 ，86×84=7224 ，35×35=1225 ，等等。
這個速算方法成立的原因是(10x+y)(10x+(10-y))=100x(x+1) +y(10-y)對任意 x 和 y 都成立。

3.翻倍，再翻倍！

將123456789翻一倍，你會發現結果仍然是這9個數字的排列：

123456789×2= 246913578

我們再次將246913578翻倍，發現：

246913578×2=493827156

結果依舊包含了每個數字各一次。這僅僅是一個巧合嗎？我們繼續翻倍：

493827156×2=987654312

神奇啊，一個很有特點的數987654312，顯然每個數字又只用了一次。

你或許會想，這下到頭了吧，再翻倍就成10位數了。不過，請看：

987654312×2=1975308624

又包含了每個數字各一次，只不過這一次加上了數字0。再來？

1975308624×2=3950617248

恐怖了，又是每個數字各出現一次。

出現了這麼多巧合之後我們開始懷疑，這並不是什麼巧合，一定有什麼簡單的方法可以解釋這種現象。 但是，下面的事實讓問題更加複雜了。第6次翻倍後，雖然仍然是10位數，但偏偏就在這時發生了一次例外：

3950617248×2=7901234496

看來，尋找一個合理的解釋，並不是一件輕而易舉的事情。

4.唯一的解

經典數字謎題：用1到9組成一個九位數，使得這個數的第一位（從左邊數起）能被1整除，前兩位組成的兩位數能被2整除，前三位組成的三位數能被3整除，以此類推，一直到整個九位數能被9整除。
沒錯，真的有這樣猛的數：381654729。其中3能被1整除，38能被2整除，381能被3整除，一直到整個數能被9整除。這個數既可以用整除的性質一步步推出來，也能利用計算機程式設計找到。
另一個有趣的事實是，在所有由1到9組成的362880個不同的九位數中，381654729是唯一一個滿足要求的數！

5.幻方之幻

“三階幻方”是指把數字1到9填入的方格，使得每一行、每一列和兩條對角線的三個數之和正好都相同。下面就是一個三階幻方，每條直線上的三個數之和都等於15。
8 1 6
3 5 7
4 9 2
大家或許都聽說過幻方這玩意兒，但不知道幻方中的一些美妙性質。例如，任意一個三階幻方都滿足：各行所組成的三位數的平方和，等於各行逆序所組成的三位數的平方和。對於上面的三階幻方，就有以下等式：

816²+357²+492²=618²+753²+294²

利用線性代數，我們可以證明這個結論。

6.一個小魔術

在一張紙上並排畫11個小方格。叫你的好朋友背對著你（確保你看不到他在紙上寫什麼），在前兩個方格中隨便填兩個1到10之間的數。從第三個方格開始，在每個方格里填入前兩個方格里的數之和。讓你的朋友一直算出第10個方格里的數。假如你的朋友一開始填入方格的數是7和3，那麼前10個方格里的數分別是：
7，3，10，13，23，36，59，95，154，249

現在，叫你的朋友報出第10個方格里的數，稍作計算你便能猜出第11個方格里的數應該是多少。你的朋友會非常驚奇地發現，把第11個方格里的數計算出來，所得的結果與你的預測一模一樣！
其實，僅憑藉第10個數來推測第11個數的方法非常簡單，你需要做的僅僅是把第10個數乘以1.618，得到的乘積就是第11個數了。在上面的例子中，由於249×1.618=402.882=403 ，因此你可以胸有成竹地斷定，第11個數就是403。而事實上，154與249相加就等於403。
其實，不管最初兩個數是什麼，按照這種方式加下去，相鄰兩數之比總會越來越趨近於1.618——這個數正是傳說中的“黃金分割”。

7.三個神奇的分數

1/49化成小數後等於0.0204081632…，把小數點後的數字兩位兩位斷開，前五個數依次是2、4、8、16、32，每個數正好都是前一個數的兩倍。
1/9899等於0.01010203050813213455…，兩位兩位斷開後，得到的正好是著名的Fibonacci數列1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … ，數列中的每一個數都是前兩個數之和。
而100/9801 則等於0.01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23…

利用組合數學中的“生成函式”可以完美地解釋這些現象的產生原因。

8.天然形成的幻方

從 1/19到18/19 這18個分數的小數迴圈節長度都是18。像圖2-2那樣把這18個迴圈節排成一個18×18 的數字陣，這將恰好構成一個幻方——每一行、每一列和兩條對角線上的數字之和都是81。當然，嚴格來說這個圖並不是幻方，因為它每行有相同的數字。

圖2-2 1/19到18/19形成的幻方

2.2最折磨人的數學未解之謎

數學之美不但體現在漂亮的結論和精妙的證明上，那些尚未解決的數學問題也有讓人神魂顛倒的魅力。和Goldbach猜想、Riemann假設不同，有些懸而未解的問題趣味性很強，“數學性”卻非常弱，乍看上去並沒有觸及深刻的數學理論，似乎是一道可以瞬間秒殺的數學趣題，讓數學愛好者們“不找到一個巧解就不爽”。但令人稱奇的是，它們的困難程度卻不亞於那些著名的數學猜想，這或許比各個領域中艱深的數學難題更折磨人吧。

1. 3x+1問題

從任意一個正整數開始，重複對其進行下面的操作：如果這個數是偶數，把它除以2；如果這個數是奇數，則把它擴大到原來的3倍後再加1。序列是否最終總會變成4, 2, 1, 4, 2, 1, … 的迴圈？
這個問題可以說是一個“坑”——乍看之下，問題非常簡單，突破口很多，於是數學家們紛紛往裡面跳。殊不知進去容易出去難，不少數學家到死都沒把這個問題搞出來。已經中招的數學家不計其數，這可以從 3x+1問題的各種別名看出來： 問題又叫Collatz猜想、Syracuse問題、Kakutani問題、Hasse演算法、Ulam問題等等。後來，由於命名爭議太大，乾脆讓誰都不沾光，直接叫做 3x+1問題算了。
3x+1問題不是一般的困難，下面舉一個例子來說明它形成的數列收斂是多麼沒規律。從26開始算起，10步就掉入了“421陷阱”：
26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, …
但是，從27開始算起，數字會一路飆升到幾千多，你很可能會一度認為它脫離了“421陷阱”。但是，經過上百步運算後，它還是跌了回來：
27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, …

2.196問題

一個數正讀反讀都一樣，我們就把它叫做“迴文數”。隨便選一個數，不斷加上把它反過來寫之後得到的數，直到得出一個迴文數為止。例如，所選的數是67，兩步就可以得到一個迴文數484：
67 + 76 = 143
143 + 341 = 484
把69變成一個迴文數則需要四步：
69 + 96 = 165
165 + 561 = 726
726 + 627 = 1353
1353 + 3531 = 4884
89的“迴文數之路”則特別長，要到第24步才會得到第一個迴文數：8813200023188。
大家或許會想，不斷地“一正一反相加”，最後總能得到一個迴文數，這當然不足為奇了。事實情況也確實是這樣——對於幾乎所有的數，按照規則不斷加下去，遲早會出現迴文數。不過，196卻是一個相當引人注目的例外。數學家們已經用計算機算到了3億多位數，都沒有產生過一次迴文數。從196出發，究竟能否加出迴文數來？196究竟特殊在哪兒？這至今仍是個謎。

3.Thrackle猜想

在紙上畫一些點，再畫一些點與點之間的連線，我們就把所得的圖形叫做一個“圖”。如果一個圖的每根線條都與其他所有線條相交恰好一次（頂點處相接也算相交），這個圖就叫做一個thrackle。圖2-4顯示的就是三個滿足要求的thrackle，注意到它們的線條數量都沒有超過頂點的數量。那麼，是否存線上條數大於頂點數的thrackle？

圖2-4 一些典型的thrackle

這個問題是由英國數學家John Conway提出來的。這明顯又是一個坑，看到這個問題誰都想試試，然後就紛紛崩潰掉。Conway懸賞1000美元徵解，可見這個問題有多麼不容易。目前已知的最好結果是，一個thrackle的線條數不會超過頂點數的 167/117倍。

4.Venn圖並不簡單

畫慣了三個集合的Venn圖，很多人都會認為，像圖2-5右邊那樣把四個圓圈畫成一朵花，就是四個集合的Venn圖了。其實這是不對的——四個圓只能產生14個區域，而四個集合將會交出16種情況。如果把四個圓圈像圖7右邊那幅圖一樣排列，就少了兩個區域：只屬於左下角的圓和右上角的圓的區域，以及只屬於左上角的圓和右下角的圓的區域。

圖2-5 三集合與四集合的韋恩圖

那麼，是不是四個集合的Venn圖就沒法畫了呢？也不是。如果你不是一個完美主義者，你可以像圖2-6那樣，把三個集合的Venn圖擴充套件到四個集合；雖然看上去非常不美觀，但是從拓撲學的角度來說，只要邏輯上正確無誤，誰管它畫得圓不圓呢。

圖2-6 四集合的韋恩圖

大家會自然而然地想到一個問題：圖2-6是否還能繼續擴充套件成五個集合的Venn圖呢？更一般地，是否隨便什麼樣的 n個集合的Venn圖都可以擴充套件到 （n+1）個集合呢？ 令人難以置信的是，這個問題竟然還沒被解決！事實上，對滿足各種條件的Venn圖的研究是一個經久不衰的話題，與Venn圖相關的猜想絕不止這一個。