k個最小和；及數對數目分析

今日面試題：k個最小和

給定k個陣列，每個陣列有k個整數。每個陣列中選取一個整數，一共k個整數，取其和，一共可以得到k^k個和。給出方法，求得這k^k個和中，最小的k個。

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數對數目分析原題給定兩個陣列X和Y，元素都是正數。請找出滿足如下條件的數對的數目：

1. x^y > y^x，即x的y次方>y的x次方

2. x來自X陣列，y來自Y陣列

分析

假設陣列X的長度為m，陣列Y的長度為n，最直接的暴力法，時間複雜度為O(m*n)，但這樣的話，並不需要都是正數這個條件的。那麼，我們該如何優化呢？

x^y>y^x，對於x和y來講，有什麼規律呢？該如何發現呢？這裡其實有規律的，大多數的條件下，當y>x的時 候，x^y>y^x，但是有一些例外，1，2，3，4幾個數，需要特殊的考慮，比如2^4=4^2。這個大家可以通過在紙上寫寫畫畫來得到，相對繁 瑣，我們就不進一步分析了。

我們可否對於原式做一些數學變換呢？使得式子變化簡單。如何去做呢？這個式子的複雜體現在兩邊都是指數的形式，如何變化一下呢？我們很自然的就想 到，逆運算對數運算，則，兩邊取對數可得：ylog(x)>xlog(y)。這裡同學們可能要問，可以直接取對數麼？取對數之後，大小關係仍舊滿足 麼？這裡是有兩點保證的：

1. 對數函式的性質，單調遞增

2. 題目中的說明：元素都是正數

對於式子:ylog(x)>xlog(y)，x和y都是正數，則進一步有：兩邊同時除以xy，則：log(x)/x >log(y)/y。這個式子，看起來也複雜，但是，x和y都在各自的一邊，要簡單的多。 對於log(x)/x >log(y)/y，

1. 陣列X和Y分別計算log(x)/x,log(y)/y

2. 然後對Y進行排序O(nlogn)

3. 遍歷X陣列，對於每一個x，在Y中，進行二分查詢，即可。

總的時間複雜度為O(nlogn + mlogn).

【分析完畢】

本文來自微信：待字閨中，2013-10-26釋出，原創@陳利人 ，歡迎大家繼續關注微信公眾賬號“待字閨中”。