數對數目；及LIS問題分析

今日面試題：數對數目

給定兩個陣列X和Y，元素都是正數。請找出滿足如下條件的數對的數目：

1. x^y > y^x，即x的y次方>y的x次方


2. x來自X陣列，y來自Y陣列

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LIS問題分析原題這個LIS問題，可不是Longest Increasing Subsequence，而是Largest Independent Set，含義如下：給定一棵二叉樹，找到滿足如下條件的最大節點集合：集合中的任意兩個節點之間，都沒有邊。如下圖：

LIS大小為5，為{10,40,60,70,80}.

分析

這個題目與前幾期的題目頗有類似，而且，一個二叉樹的問題。通常來講，樹的問題一般都是可以通過遞迴來解決的。遞迴是自頂向下的分析問題，分析原問 題是否能夠分解為子問題。那麼LIS問題呢？我們從LIS集合大小入手，設f(x)為以x為根的數的LIS的大小，根據題目中的定義：

1. 當x不在LIS中時，f(x)=sum(所有兒子節點的f(兒子))

2. 當x在LIS中的時候，則x的兒子節點肯定不在LIS中，考慮孫子節點，則f(x)=sum(所有孫子節點的f(孫子)) + 1，後面的1是x本身。

上面的描述，轉換為程式碼，很簡單。但是效率確實很低，是指數級的。而且，上面的遞迴過程中，子問題重複的比較多。最明顯的就是，x的兒子 節點x的父節點的孫子節點，幾乎都要重複計算，所以改進空間很大。改進的方法，最直接的就是採用快取將計算過的子問題，快取起來，待後面直接使用，很簡 單，卻又是非常實用的。 那麼動態規劃如何解呢？動態規劃是自底向上解決問題，對於上面的遞迴過程，如何表示x是否在LIS中呢？微博上@曹鵬博士 給出的解法是非常好的:

1. dp[0,1][x]表示以節點x為根的子樹不取或取x的結果，第一維取0，表示x不在LIS中，第一維取1，表示x在LIS中；

2. dp[0][leaf]=0，dp[1][leaf]=value of the leaf

3. dp[0][x]=max of max dp[t=0,1][y is son of x], dp[1][x]=sum of dp[0][y is son of x] + value of x.

4. 最後取max(dp[0][root],dp[1][root])

這裡比較有意思的是第一維來表示第二維的節點，作為根節點，是否在LIS中。上面的過程在，前序或者後序的基礎之上進行都可以，原則就是一點，有兒子的，就先計算完兒子，再計算父節點。

本文來自微信：待字閨中，2013-10-23釋出，原創@陳利人 ，歡迎大家繼續關注微信公眾賬號“待字閨中”。