LIS問題；及最少插入字元分析

今日面試題：LIS問題

這個LIS問題，可不是Longest Increasing Subsequence，而是Largest Independent Set，含義如下：給定一棵二叉樹，找到滿足如下條件的最大節點集合：集合中的任意兩個節點之間，都沒有邊。如下圖：

LIS大小為5，為{10,40,60,70,80}.

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最少插入字元分析原題給定字串，可以通過插入字元，使其變為迴文。求最少插入字元的數量。例如：

1. ab最少插入1個字元，變為*b*ab

2. aa最少插入0個字元

3. abcd最少插入3個字元，*dcb*abcd

分析

這個題目的分析思路，和前面兩期是非常相似的：給出遞迴的解法，發現重複的子問題，改進為動態規劃的解法，這是一個分析的過程，待同學們比較熟悉時候，可以直接給出動態規劃的解決方案，就很好了。

這個題目，遞迴該如何解呢？給定一個字串str，長度為n，怎麼插入最少的字元，是的字串變為迴文呢？插入最少的字元，就是要儘量利用原來的字元，在原字串str中，儘量利用更多能夠匹配的字元。怎麼對這個問題進行分解呢？考慮str字串整體：

1. 如果str[0]==str[n-1]，則問題轉變為求str[1,n-2]，插入最少字元，得到迴文

2. 如果str[0]!=str[n-1]，則需要插入一個字元要麼和str[0]相同，要麼和str[n-1]相同，

    1. 如果和str[0]，則轉變為str[1,n-1]，插入最少字元，得到迴文

    2. 如果和str[n-1]，則轉變為str[0,n-2]，插入最少字元，得到迴文

上面的第2種情況中，需要取兩個值最小值。則完成了問題的分解，並且，基本情況也分析完全，則有遞迴式為：fmi(str, l, h) = (str[l] == str[h]) ? fmi(str, l+1, h-1) : (min(fmi(str, i+1, h), fmi(str,l, h-1))+1) 通過上面的式子，有經驗的、熟練的同學，很直接的就能看出來，存在重複的子問題，這就意味著，我們可以講子問題的解快取使用。如果，沒有直接能夠看出來的同學們，還是可以按照我們之前的方法，把遞迴樹畫出來吧，那樣更加一目瞭然。

那麼，這個題目該如何用動態規劃的解決呢？如何重複利用子問題的解呢？似乎有些不那麼直接。但其實也是於規律可循的。上面的遞迴式，是從字串的兩 邊，想中間移動遞迴，根據動態規劃解決問題的思想，我們先解決子問題，再重複利用子問題，就是要從內向外解決，大家還記得迴文子串判斷的那個題目麼，動態 規劃解法的外層迴圈是子串的長度，這個題目也是類似的。示例程式碼如下：

這個題目在使用動態規劃解的時候，略有點兒繞，不太好想到如何利用子問題的解。這個沒有更好的方法，就是多多積累，遇到問題勤于思考，舉一反三。

【分析完畢】

本文來自微信：待字閨中，2013-10-18釋出，原創@陳利人 ，歡迎大家繼續關注微信公眾賬號“待字閨中”。