高等數學
第一章 函式 連續 極限
第一節 函式
1.函式概念
函式定義：一個 \(x\) 只能對應一個 \(y\)
基本要素：定義域 + 對應法則
同一函式 = 兩要素相同
常見定義域：
| f(x) | 定義域 | 值域 | 影像 |
|---|---|---|---|
| \(\frac1x\) | \(x>0\) | ||
| \(\sqrt[2n]{x}\) | \(x\geq0\) | ||
| \(\log_a{x}\) | \(x>0\) | ||
| \(tanx\) | \(x\neq k\pi+\frac{\pi}{2}\) | ||
| \(secx\) | \(x\neq k\pi+\frac{\pi}{2}\) | ||
| \(cotx\) | \(x\neq k\pi\) | ||
| \(cscx\) | \(x\neq k\pi\) | ||
| \(arcsinx\) | \([-1,1]\) | \([-\frac{\pi}2, \frac{\pi}2]\) |  |
| \(arccosx\) | \([-1,1]\) | \([0,\pi]\) |  |
| \(arctanx\) | \(R\) | \((-\frac{\pi}2, \frac{\pi}2)\) |  |
| \(arccotx\) | \(R\) | \((0, \pi)\) |  |
2.分段函式
是一個函式，不是多個
3.複合函式
代入，畫圖
4.反函式
交換 \(x\) 和 \(y\)（定義域和值域交換）
單調函式一定有反函式，有反函式的函式不一定單調
\(f^{-1}[f(x)]=x,f[f^{-1}(x)]=x\)
5.初等函式
基本初等函式：冪指對三角反三角
初等函式：常數和基本初等函式經過有限次四則運算和有限次函式複合構成的可用一個式子表示的函式
注：分段函式不是初等函式
三角函式：
| 三角函式常見等式 |
|---|
| \(sec^2x=1+tan^2x\) |
| \(csc^2x=1+cot^2x\) |
| \(arcsinx+arccosx=\frac{\pi}2,x\in[-1, 1]\) |
| \(arctannx+arccotx=\frac{\pi}2\) |
6.隱函式
7.引數方程
8.冪指函式
9.函式性質
單調性
奇偶性
定義域必須關於原點對稱
週期性
若 \(f(x)\) 的週期為 \(T\)，則 \(f(ax+b)\) 的週期為 \(\frac{T}{|a|}\)
若 \(f_1(x), f_2(x), ..., f_n(x)\) 的週期分別為 \(T_1, T_2, ..., T_n\)，則 \(f_1(x)+f_2(x)+...+f_n(x)\) 的週期為 \(lcm(T_1, T_2, ...T_n)\)
有界性
\(\forall M>0, |f(x)|\leq M\)
例題
